LA BANDA DE MOEBIUS

De Mudanza

2010-09-17T21:47:00.004+01:00

Bueno, pues finalmente he decidido cerrar con llave este blog. Es mi manera de homenajear a esos alumnos y alumnas de 4º que lo han usado y que son tan especiales e importantes para mí. Así que este blog quedará también como parte del recuerdo de esos años tan fantásticos que pasamos juntos. Siempre estará aquí para que sigáis usándolo, accediendo a sus entradas o sus enlaces, pero ya no aportará nada nuevo.

Si queréis seguir la actualidad matemática del Baelo, os invito a pasaros por el nuevo blog, LA CASA DE GAUSS, en donde seguiré colgando información a mis nuevos alumnos.

Muchas gracias a todos por hacer que este blog haya sido tan importante. Os quiero.

THE END?

2010-06-26T23:18:00.004+01:00

Bueno, hemos llegado al final de este curso tan maravilloso. Y por ahora, al final de este blog que ha intentado estar con vosotros para ayudaros y tratar de proporcionar mayor información y conocimiento a los alumnos y alumnas interesados.

Supongo, no lo sé todavía, que volveré a escribiros desde aquí a partir de septiembre, aunque mis lectores ya no sean los que me han estado siguiendo hasta ahora.

Sé que será imposible superar lo que hemos vivido juntos estos años, pero pondré todo mi ilusión y esfuerzo en seguir adelante y dar a mis nuevos alumnos lo mejor de mí.

A mis chicos y chicas de 4º, a los que llevaré toda la vida en mi corazón, que tengais un futuro brillante, y que sepais que siempre voy a estar ahí para ayudaros, porque no importa donde estemos en el futuro, estaremos juntos.

Un beso.

Fdo: Enrique.

COMBINATORIA

2010-06-03T12:09:00.002+01:00

http://www.sectormatematica.cl/media/NM2/NM2_Combinatoria.doc

http://www.sectormatematica.cl/media/NM2/NM2_Combinatoria_2.doc

http://www.sectormatematica.cl/media/NM2/NM2_Combinatoria_3.doc

http://www.sectormatematica.cl/media/NM2/NM2_combinatoria_4.doc

http://www.vitutor.com/pro/1/a_b.html

Un interesantísimo blog: Crónicas de Tarifa

2010-05-14T15:34:00.004+01:00

Bueno, os hago un poco de publicidad de un blog que han creado alumnos de mi maravillosa tutoría, el blog Crónicas de Tarifa.

En él podéis encontrar información sobre la vida en esta hermosa ciudad, y conocer más de cerca a estos chicos que son la caña de España (y me han dicho que si alguna chica está interesada después de ver el blog, que se ponga en contacto con ellos para amistad y lo que surja XD)

Nada más, os dejo directamente con el enlace. Gonzalo, Mohamed, Pedro, Nuñez, Alejandro, y Carlos: SUERTE CON EL BLOG!!!

CRÓNICAS DE TARIFA

FUNCIONES

2010-05-03T11:31:00.015+01:00

Penúltimo capítulo del curso. El análisis de funciones es fundamental, y es un tema recurrente en bachillerato. En esta entrada iré actualizando ejercicios para que sigáis entrenando.

Ejercicios de Dominio de Funciones

Aplicación para representar gráficas de funciones GEOGEBRA

Documento sobre Gráficas de Funciones Elementales realizado por mí usando la aplicación Geogebra

ACTUALIZACIÓN:

- Aquí os podeis descargar el manual para usar GEOGEBRA

http://www.geogebra.org/help/docues.pdf

- Las operaciones que usamos nosotros están en la página 44 y 45

- Para escribir funciones definidas a trozos, mirar este video. (Nota: Si queremos poner el simbolo infinito podemos buscarlo en la línea de comandos facilmente.)

EJERCICIOS BONUS GEOGEBRA

Ejercicios para casa:

Sobre dominios de funciones
Sobre rectas
Sobre parábolas
Sobre funciones definidas a trozos

Soluciones a los ejercicios propuestos. Importante, no mirar las soluciones hasta haber intentando los ejercicios. No están hechos todos, pero sí creo que los suficientes como para daros una idea del resto, y algunos os indico que comprobéis los resultados con el geogebra. Espero que os sirva de ayuda:

ACTUALIZACIÓN: Finalizo esta entrada tan completita con ejercicios de límites y continuidad acompañados de sus soluciones:

EJERCICIOS
SOLUCIONES

Límites y Sucesiones

2010-04-09T17:16:00.007+01:00

Interesantísimo este nuevo tema, en el que por primera vez nos acercamos a la idea de infinito. Creo que es el tema más abstracto que hemos visto, un tema ya de matemáticas puras, en el que es necesario tener capacidad de abstracción e imaginar cómo se comportan las sucesiones allí a donde nadie puede alcanzarlas, en los entornos del infinito. Os pongo en este post los ejercicios resueltos del tema, así como diversos vídeos acerca de las sucesiones.

SOLUCIONES EJERCICIOS DEL LIBRO

Lo que os expliqué en clase del número e, pero usando 100 pesos, y desde Argentina (aunque cuidado, porque al final del video se olvida de decir, que el numero e no es 271,82..., sino que ese número hay que dividirlo por 100, porque el número e es el 2,7182...):

Resolución (algo exhaustiva, pero buena) de una indeterminación 1 elevado a infinito

Resolución de un infinito menos infinito (aunque creo que se olvida de un signo, como al final da cero, es lo de menos)

RECUPERACIÓN y AMPLIACIÓN 2ª EVALUACIÓN

2010-03-21T10:01:00.001Z

Fecha entrega: 5 Abril 2010

Recuperación:

Tema 4: Pág 74 ----> 19, 21, 25, 26, 43

Tema 5: Pág 94 -----> 21, 23, 33, 42, 49

Tema 6: Pág 110 -----> 25, 32, 37, 43, 49, 50

Tema 7: Pág 147 ------> 83, 84, 85, 86, 87, 88

-------------------------

Ampliación:

Pág 76: 50, 64

Pág 97: 62

Pág 111: 39

Pág 112: 54

Pág 113: 68

Pág 147: 97, 98

6 ejercicios bien: +1 en el próximo examen.
7 ejercicios bien: +1.25 en el próximo examen.
8 ejercicios bien: +1.5 en el próximo examen.

¡ Feliz día del número PI !

2010-03-14T13:41:00.004Z

Pues sí, todos los 14 de marzo se celebra el día de Pi. ¿El motivo? Pues que en la notación anglosajona, el 14 de marzo se escribe 3/14, puesto que primero se indica el mes, y luego el día. Y como todo el mundo sabe, 3.14 es la aproximación más conocida del número irracional trascendente más famoso de todos los tiempos.

De hecho, el día pi más pi fue el 14 de marzo de 1592, puesto que tendríamos una coincidencia de 6 cifras decimales con respecto al pi original.

Como curiosidad queda que, el que quizás sea el científico más conocido de la Historia, Albert Einstein, nació un 14 de marzo.

En fin, simplemente desearos que tengáis un día redondo ;-D y que si queréis leer algo más sobre este número os dejo algunos enlaces interesantes:

Artículo sobre el día de pi

Historietas de pi

Pi en Gaussianos

VECTORES

2010-02-21T18:34:00.004Z

Nuevo tema: los vectores en el plano. La verdad es que estoy muy emocionado con este tema, ya que es la primera vez que tengo oportunidad de darlo, y es un tema muy interesante, con una gran importancia en otros campos de la ciencia, especialmente, la Física.

Aquí os propongo, como siempre, varias páginas web para complementar las clases.

NOVEDAD: soluciones de los ejercicios del libro, para los que no dé tiempo de corregir en clase: SOLUCIONES

Teoría del tema en vitutor

Ejercicios con soluciones en pdf

Actividades para hacer con el ordenador

TRIGONOMETRÍA

2010-01-31T14:58:00.004Z

Bueno, nos encontramos en uno de los temas clave del curso sin duda: la Trigonometría. Por supuesto que lo que estudiaremos este año es tan sólo la superficie de esta apasionante parte de las matemáticas. En los sucesivos años os la volveréis a encontrar y profundizaréis más en ella, tanto los que opten por las ciencias sociales como los que escojan la rama científico-tecnológica.

Os presento aquí varios enlaces muy útiles con los que complementar vuestra formación este año:

UNIDAD DIDÁCTICA INTERACTIVA: Un enlace en el que podréis repasar el tema al completo usando vuestro ordenador.

TEORIA DEL TEMA en pdf (de la web del colegio Alcaste): otros apuntes para complementar los de clase.

Ejercicios Resueltos del tema

Más ejercicios de Refuerzo.

Espero que os sea de ayuda, ¡un saludo!

Semejanza

2010-01-15T17:55:00.005Z

Bueno, pues esta tarde he dado con una página en pdf que tiene una colección de problemas muy interesante, así que os la recomiendo con gran entusiasmo y alboroto:

Enlace 1

Y de los ejercicios de esta página, los que os recomendaría hacer son los comprendidos entre el 1 y el 30, ambos inclusive.

Enlace 2

Os pongo también aquí los ejercicios que os propuse el año pasado:

Enlace 3

Edito y os pongo también las soluciones de los ejercicios que he mandado del libro, porque no nos dará tiempo de corregirlos todos en clase. Pero de nuevo os advierto que si no los intentáis antes, no os va a servir de nada mirar estas soluciones.

Desde luego, por falta de problemas que no sea, jajajaj. Ya sabéis, aunque estén resueltos, si no los intentáis vosotros SÓLOS primero, no os servirá de nada. Venga, mucho ánimo.

PD: en este mismo blog hay información sobre el trabajo que os mandé esta mañana, simplemente tenéis que buscarla un poquito. ;-)

Ejercicios Recuperación y Ampliación 1ª Evaluación 4º ESO

2009-12-13T12:05:00.008Z

Os dejo aquí los listados de los ejercicios que deben hacer los alumnos y alumnas que han suspendido alguna de las pruebas escritas realizadas durante el primer trimestre.

La presentación se realizará en folios en blanco, con los enunciados de cada ejercicio copiados en ellos.

Alumn@s con el tema 1 suspenso:

Página 25, ejercicios 55, 56, 57, 58, 59, 60, 62, 63.
Página 27, ejercicios 90, 91.

Alumn@s con el tema 2 suspenso:

Página 42, ejercicios 36, 40, 41, 44, 45, 48, 50, 60.
Página 45, ejercicios 85, 87.

Alumn@s con el tema 3 suspenso:

Página 51, ejercicio 6.
Página 60, ejercicios 22, 25, 26, 28, 29, 33.
Página 62, ejercicios 41, 45, 50.

Fecha tope de presentación: Viernes 15 de Enero de 2010.

Para aquell@s que hayan aprobado todos los exámenes, también tienen ejercicios para que no se aburran estas navidades. Se recompensará mediante un punto más en el próximo examen a los que traigan bien realizados al menos siete de los siguientes diez ejercicios:

Página 25: ejercicios 71, 72, 95, 97
Página 45: ejercicios 90, 92, 97
Página 62: ejercicio 63
Página 77: ejercicio 60, 64

PD: Para los alumn@s con la primera evaluación suspensa, se realizará una prueba escrita de recuperación después de las vacaciones de Navidad, con fecha por determinar, entre el 11 y el 22 de Enero de 2010.

Inecuaciones en Youtube

2009-12-11T21:42:00.002Z

Aquí os dejo algunos videos interesantes en los que dos profesoras explican cómo resolver algunas inecuaciones:

1) Resolucion de una inecuación racional: La profesora lo hace por un método ligeramente diferente al mío, aunque por supuesto igual de válido, e incluso puede que este os guste más. Os lo dejo aquí para que le echéis un vistazo:

2) Resolución de una inecuación simple

Esta profesora explica muy detalladamente todos los pasos. Quizás la inecuación es demasiado sencilla, pero bueno.

Homenaje a LOST

2009-12-06T19:36:00.011Z

El 2 de Febrero de 2010 empieza la que será la última temporada de la que para mí es la mejor serie de la tv: Lost, o Perdidos como se ha llamado aquí en España. Han sido 6 años de seguimiento de una serie con la que me he emocionado, impactado y sorprendido una y otra vez. Tan solo espero que el final esté a la altura de las expectativas. Con motivo de tal evento engalano el blog con motivos "losties". See you in another life, brother!!!!

INECUACIONES: Apuntes Alternativos y Ejercicios

2009-11-26T17:05:00.004Z

Acerca del tema de las inecuaciones, he encontrado una página con un pdf en el que se explica practicamente toda la teoría del tema, aunque de un modo muy esquemático y usando notación matemática constantemente. De todos modos, creo que puede estar bien como unos apuntes alternativos a los que vais a ir tomando en clase, aparte de tener algunos ejercicios al final del documento. También os paso otro pdf con más ejercicios. Recordad que los iremos viendo poco a poco en clase, así que no os asustéis si os encontráis cosas que aún no hemos visto. Poquito a poco.

Apuntes alternativos

Ejercicios

Más ejercicios

Enunciados de ecuaciones y problemas

2009-11-17T20:53:00.004Z

Os enlazo vía rapidshare las fichas con las ecuaciones y los problemas que os he dado en clase, por si alguien (ejem, Gonzalo, ejem) ha perdido alguna.

Os recuerdo que las soluciones a la ficha de las ecuaciones las podéis encontrar en los enlaces que aparecen en esta entrada

FICHA ECUACIONES

FICHA PROBLEMAS

Remember, remember, los sistemas de ecuaciones.

2009-11-11T20:40:00.005Z

Sé que supuestamente esto de los sistemas de ecuaciones lo tenéis que saber, y que también los resolvimos en la evaluación inicial. Pero como sé que la memoria es, en ocasiones, frágil, y la práctica se pierde con el tiempo, os enlazo tres videos en el que un buen hombre explica (de forma algo monótona, eso sí, pero muy correctamente) los tres métodos principales para resolver un sistema de ecuaciones lineales. Os aconsejo echarle un ojo especialmente si hay algún método que esté más nublado in your mind:

Agradecimientos al autor original de estos videos.

El Misterio de la Resolución de Ecuaciones Polinómicas

2009-11-07T09:57:00.005Z

En clase me habéis preguntado por qué no resolvemos las ecuaciones de grado 3 usando una fórmula al igual que con las ecuaciones de segundo grado. Yo os he contestado que esa fórmula existe, pero que es demasiado compleja para hacerla, y tardaríamos demasiado tiempo en resolverlas. De hecho, ya os comenté que existían fórmulas que resolvían todas las ecuaciones de hasta cuarto grado, pero a partir del grado 5, no existen fórmulas generales para resolver todas ellas.

Buscando por internet he encontrado una página en el que se explica un poco la historia de este proceso de búsqueda de soluciones, que creo que os podría interesar. Os lo enlazo aquí:

RESOLUCIÓN DE ECUACIONES POLINÓMICAS DE GRADO >2

Las Matemáticas hacen que la Naturaleza sea bella

2009-11-07T09:49:00.002Z

Un video interesante que he encontrado en el youtube. Echadle un vistazo ;-)

Ecuaciones de todos los colores

2009-11-07T09:21:00.011Z

Hemos llegado a uno de los temas clásicos de las matemáticas, el tema de Ecuaciones. En este curso veremos ecuaciones de gran variedad, para todos los gustos:

Las típicas ecuaciones polinómicas de primer y segundo grado, las bicuadradas, radicales, exponenciales, logarítmicas,y racionales, además de intentar encontrar las máximas soluciones posibles en las ecuaciones polnómicas de grado mayor de 2.

En este post tenéis un enlace en el que aparecen varias ecuaciones de este tipo para que tengáis más material para practicar. Y recordad que no debéis mirar las soluciones hasta que no lo hayáis intentado por vosotros mismos. Si teneis bien el resultado, podeis pasar a la siguiente. Si no, comprobáis dónde está el fallo y la volvéis a hacer otro día.

Esa es la manera de estudiar matemáticas: realizar muchos ejercicios, comprenderlos, y darnos cuenta de nuestros propios errores para no volver a caer en ellos.

Sin más rollos os dejo los enlaces con los ejercicios. Iré actualizando este post a medida que avancemos en el tema. Por ahora, lo que os recomiendo es que hagáis los ejercicios 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ,10 y 13 de este enlace:

ENLACE 1

Actualización:

En los siguientes enlaces os dejo los ejercicios con las soluciones de las fichas de clase.

ENLACE 2

ENLACE 3

Actualización (2):

Hoja con algunas ecuaciones racionales, incluye solución:

ENLACE 4

Y más y más ejercicios sobre factorización

2009-10-24T10:06:00.005+01:00

Como os dije, la única manera de adquirir destreza en esto de factorizar es hacer muchos y muchos ejercicios, así que aquí os pongo un par de páginas más para que sigáis factorizando. Incluye soluciones, pero como siempre os digo, antes intentadlo vosotros mismos.

Enlace 1

Enlace 2

En este último enlace se plantean ejercicios de todo el tema, e incluso algunos que no hemos realizado en clase, pero que también son interesantes:

Enlace 3

El Teorema Fundamental del Álgebra

2009-10-22T11:07:00.003+01:00

El teorema fundamental del álgebra (TFA) establece que un polinomio en una variable, no constante y a coeficientes complejos, tiene tantas raíces como su grado, dado que las raíces se cuentan con sus multiplicidades. En otras palabras, dado un polinomio complejo p de grado n > 0, la ecuación p(z) = 0 tiene exactamente n soluciones complejas, contando multiplicidades. De manera equivalente:

* El cuerpo de los complejos es cerrado para las operaciones algebraicas.
* Todo polinomio complejo de grado n se puede expresar como un producto de n polinomios de la forma (x-a) por una constante, donde las a son las raíces (reales o complejas) del polinomio.

El teorema se establece comúnmente de la siguiente manera: todo polinomio en una variable con coeficientes complejos de grado al menos uno, tiene al menos una raíz compleja. Aunque ésta en principio parece ser una declaración más débil, implica fácilmente la forma completa por la división polinómica sucesiva por factores lineales.

Los primitivos estudios (circa 800 d.C.) llevados a cabo por al-Khwarizmi sólo buscaban raíces reales positivas y el TFA no tenía sentido. Cardano fue el primero en darse cuenta que uno podía trabajar con cantidades más generales que los números reales. El descubrimiento lo hizo trabajando para hallar las raíces de una cúbica. Esos métodos aplicados a la ecuación x^3 = 15x + 4 dieron una respuesta que implicaban la raíz cuadrada de -121, Cardano sabía que la ecuación tenía a x = 4 como raíz y fue capaz de manipular con números complejos (aunque no acababa de entender el porqué) hasta hallar la solución correcta. Bombelli, en su Algebra, publicado en 1572, dió unas reglas para manipular estos nuevos números.

Descartes en 1637, dijo que uno puede imaginar para cada ecuación de grado n, n raíces pero que estas n raíces podían no corresponder con cantidad real alguna. Vieta dió ecuaciones de grado n con n raíces. Sin embargo, el primero que afirmó que siempre existían n soluciones fue un matemático flamenco Albert Girard en 1629 en su L'invention en algèbre. Pero no afirmó que fueran complejos; o sea, números de la forma a + bi, a, b reales, permitiendo la posibilidad de cuerpos más grandes que C. De hecho, ese fue el problema del TFA durante muchos años puesto que los ¡matemáticos aceptaban la afirmación de Albert Girard como inmediata!. Aceptaban que una ecuación de grado n debe tener n raíces, el problema para ellos era demostrar que tenían la forma a + bi, a, b reales.

Aunque parece que Harriot sabía que un polinomio que tiene una raíz a (en un cuerpo), era divisible por x-a. Esto fue establecido por Descartes en 1637 en La géométrie. Albert Girard no dió estas razones para entender el concepto de raíz. Una demostración de la falsedad del TFA fue dada por Leibniz en 1702 (demostrando que hasta los grandes se equivocan) cuando aseguró que x^4 + 1 no podía ser escrito como el producto de dos factores cuadráticos complejos. Su error fue no darse cuenta que la unidad imaginaria i tiene dos raíces cuadradas complejas √2/2+i√2/2 y -(√2/2+i√2/2). Euler, en 1742 demostró que el contraejemplo de Leibniz era falso.

En 1746, D'Alembert hizo el primer intento serio de demostración del TFA. Para un polinomio f, tomó dos números reales b, c tal que f(b) = c. Entonces, demostró que existen dos complejos z1 y w1 tal que |z1| < |c|, |w1| < |c| y f(z1)=w1. Entonces, itera el proceso para converger a una raíz de f. Su demostración tenía varias debilidades. En primer lugar, usa un lema sin demostración que no fue demostrado hasta 1851, por Puiseau, pero ¡cuya demostración usa el TFA!. En segundo lugar, no usó ningún criterio de compacidad para la existencia de la convergencia. No obstante, las ideas de la esta demostración son importantes.

Al poco tiempo, Euler fue capaz de probar que todo polinomio real con grado, n < 7, tiene exactamente n raíces complejas. En 1749, intentó una demostración del caso general, o sea, el TFA para polinomios reales. Su demostración aparece en Recherches sur les racines imaginaires des équations.

En 1772, Lagrange planteó objeciones a la demostración de Euler. Afirmó que las funciones racionales podían conducir eventualmente a la contradicción 0/0. Lagrange usó su conocimiento de las permutaciones de las raíces para encontrar todos los puntos débiles de la demostración de Euler. El único incoveniente es que el propio Lagrange estaba usando que las raíces existían y que podía trabajar con ellas y deducir propiedades.

En 1795, Laplace trató de probar el TFA usando el discriminante de un polinomio. Su demostración era muy elegante solo que de nuevo suponía la existencia de las raíces.

A Gauss se le concede el crédito de la primera demostrración del TFA. En 1799, en su tesis doctoral presentó su esquema de demostración y también todas las objeciones a las anteriores. Fue el primero en observar que todas ellas suponían la existencia de las raíces y deducían propiedades de ellas. Él mismo no afirmó tener la demostración, sino que una demostración rigurosa debía ir en esos términos. Esta primera demostración de Gauss es en esencia topológica y tiene serios inconvenientes. Hoy día no es aceptada.

En 1814, el contable suizo Jean Robert Argand publicó una demostración del TFA que posiblemente sea la más simple de todas. Su demostración está basada en una idea de d'Alembert de 1746. Argand había esquematizado esas ideas en una publicación anterior, Essai sur une manière de représenter les quantitiés imaginaires dans les constructions géometriques. En ese artículo interpretaba la unidad imaginaria i como un giro de 90 en el plano, haciendo surgir lo que hoy día llamamos plano de Argand o diagrama de Argand; o sea, la representación geométrica de los números complejos. En su artículo Réflexions sur la nouvelle théorie d'analyse, Argand simplifica la idea usando un teorema general sobre la existencia de un mínimo de una función continua.

En 1820, Cauchy le dedicó un capítulo completo de su Cours d'analyse a la demostración de Argand (aunque sorprendentemente no adjudica el crédito a nadie, o sea no nombra a Argand). Esta demostración en aquella época no es completamente rigurosa, ya que el concepto de extremo inferior no había sido desarrollado todavía. La demostración de Argand fue recogida por Chrystal en su libro de texto Algebra en 1886. Este libro fue muy divulgado y la demostración de Argand se hizo famosa.

En 1816, dos años mas tarde de la demostración de Argand, Gauss dió una demostración del TFA. Gauss usó la aproximación de Euler pero en vez de operar con raíces que pueden no existir, Gauss opera con indeterminadas. Esta demostración completa la de Euler y es correcta. Otra demostración (tercer intento) de Gauss también de 1816 es, como la primera, de naturaleza topológica. Gauss introduce en 1831 el término 'número complejo'. En 1821, Cauchy había introducido el término 'conjugado'.

Sin embargo, las críticas de Gauss a la demostración de Lagrange-Laplace del TFA no fueron aceptadas en Francia. En la 2ª edición, de 1828, del tratado de ecuaciones de Lagrange no aparece todavía ninguna demostración salvo la incorrecta de Laplace-Lagrange.

En 1849, 50 años después de su primer intento, Gauss produjo la primera demostración del enunciado general de que una ecuación de grado n con coeficientes complejos tiene n raíces complejas. La demostración es similar a la primera (con los mismos inconvenientes), lo único que hace es deducir el resultado para coeficientes complejos a partir del resultado sobre polinomios reales. Merece la pena resaltar que, a pesar de la insistencia de Gauss de no suponer la existencia de las raíces cuando se trata de demostrar su existencia. Él mísmo creía, como todos en su época, que había una jerarquía de cantidades imaginarias de las cuales los números complejos eran solo los más simples. Gauss los llamó "sombra de sombras".

En 1843, buscando esas generalizaciones de los números complejos, Hamilton descubrió los cuaterniones, aunque estos no son conmutativos. Tienen todas las propiedades de un cuerpo salvo la conmutativa del producto. La primera demostración de que el único cuerpo (conmutativo) algebráico que contiene a los números reales es C, la dió Weierstrass en sus lecciones de 1863. Ésta fue publicada en en el libro de Hankel, Theorie der complexen Zahlensysteme.

Naturalmente, todas las demostraciones anteriores son válidas, una vez que se establece el resultado de la existencia del cuerpo de descomposición de cualquier polinomio. Frobenius, en la celebración en Besel del bicentenario del nacimiento de Euler dijo: Euler dió la demostración mas algebráica de la existencia de las raíces de una ecuación, basándose en que una ecuación real de grado impar tiene, por continuidad, que tener una raíz real.

Fuente: wikipedia, http://www.ugr.es/~eaznar/FTA.htm

Una demostración actual del Teorema Fundamental del Álgebra.

Abel, la prematura muerte de un genio

2009-10-22T10:50:00.003+01:00

Niels Henrik Abel (Findö, Noruega, 5 de agosto de 1802 - Froland, Noruega, 16 de abril de 1829) fue un matemático noruego. Es célebre fundamentalmente por haber probado en 1824 que no hay ninguna fórmula para hallar los ceros de todos los polinomios generales de grados mayor que 5 en términos de sus coeficientes y en el de las funciones elípticas, ámbito en el que desarrolló un método general para la construcción de funciones periódicas recíprocas de la integral elíptica.

En 1815 ingresó en la escuela de la Catedral de Cristianía (hoy Oslo) en donde tres años después probaría sus aptitudes para las matemáticas con sus brillantes soluciones a los problemas originales propuestos por Bernt Holmboe. En esa misma época, su padre, un pastor protestante pobre, murió y su familia sufrió graves penurias económicas; sin embargo, una pequeña beca del Estado permitió a Abel ingresar en la Universidad de Cristianía en 1821.

El primer trabajo relevante de Abel consistió en demostrar la imposibilidad de resolver las ecuaciones de quinto grado usando raíces (véase el Teorema de Abel-Ruffini). Fue esta, en 1824 su primera investigación publicada, aunque la demostración era difícil y enrevesada. Posteriormente se publicó de modo más elaborado en el primer volumen del Diario de Crelle.

La financiación estatal le permitió visitar Alemania y Francia en 1825. Abel conoció al astrónomo Schumacher (1780-1850) en Altona cerca de Hamburgo cuando residió seis meses en Berlín, en donde colaboró en la elaboración para su publicación del diario matemático de August Leopold Crelle. Este proyecto fue respaldado con entusiasmo por Abel, que fue en gran parte responsable del éxito de la iniciativa. De Berlín se trasladó a Friburgo en donde llevó a cabo su brillante investigación sobre la teoría de las funciones, en la que estudió sobre todo la elíptica y la hiperelíptica, e introduciendo un nuevo tipo de funciones que hoy se conocen como funciones abelianas, y que fueron objeto de un profundo estudio por su parte. En 1826 Abel viajó a París, permaneciendo allí unos diez meses; allí conoció a los matemáticos franceses más importantes, aunque ni él ni su trabajo (poco conocido) fueron especialmente valorados. A ello contribuyó también su modestia, que lo llevó a no hacer públicos los resultados de sus investigaciones. Los problemas económicos, que nunca se separaron de él, llevaron a Abel a interrumpir su viaje para regresar a Noruega, en donde trabajó como profesor (en Cristianía) durante algún tiempo. A principios de abril de 1829 Crelle le ayudó a obtener un trabajo en Berlín, pero la oferta llegó a Noruega dos días después de su muerte, a causa de una pulmonía.

La prematura muerte, a los 27 años, de este genio de las matemáticas terminó con una brillante y prometedora carrera. Sus investigaciones aclararon algunos de los aspectos más oscuros del análisis y abrieron nuevos campos de estudio, posibilitando numerosas ramificaciones en el conocimiento matemático y alcanzando un notable progreso. La parte más profunda y original del trabajo de Abel se publicó en el Diario de Crelle del que era editor Holmboe. Una edición más completa de sus trabajos se publicó en 1881 por parte de Ludwing Sylow y Sophus Lie. El adjetivo abeliano, que se ha popularizado en los escritos matemáticos deriva de su nombre y suele indicarse en minúsculas (ver grupo abeliano, categoría abeliana o variedad abeliana).

En el año 1964, se decidió en su honor llamarle «Abel» a un cráter de impacto lunar. En el año 2002 se instituyó en su honor el prestigioso premio Abel, el cual se otorga cada año a los matemáticos más destacados.

Fuente: wikipedia.

Factorización de Polinomios

2009-10-17T17:05:00.004+01:00

Aquí os dejo algunas páginas con información y ejercicios acerca del noble arte de factorizar polinomios. ¡Buen provecho!

enlace 1

enlace 2

enlace 3

Back to Business: Identidades Notables

2009-10-15T20:46:00.005+01:00

Después del parón veraniego (y algo otoñal) vuelvo a abrir el blog para volver a poner diferentes materiales que os ayuden con la asignatura. En este primer post os pongo varios enlaces en los que podéis ensayar las identidades notables, que ya sabéis que os van a ser muy muy útiles tanto este año como todos los demás en los que sigáis estudiando cosas relacionadas con las matemáticas. Aquí os los dejo:

primer enlace

segundo enlace

tercer enlace

cuarto enlace

Cerrado Por Vacaciones

2009-06-19T20:00:00.003+01:00

Pues eso, después de un largo y trabajado curso , todos nos merecemos unas buenas vacaciones, también este blog que ha estado siempre intentando ampliar contenidos y ayudaros en vuestros estudios de la mejor manera que su autor ha sabido. El blog cierra estos meses de Julio y Agosto, pero volverá con fuerzas renovadas en Septiembre. Un abrazo a todos y feliz verano!!

Rectas y Parábolas en Internet (mi primer video youtube inclusive)

2009-05-30T11:48:00.004+01:00

Bueno, en este post voy a colgar varios videos y presentaciones que podéis encontrar en la red acerca de la representación gráfica y cálculo de ecuaciones de la recta y la parábola. Como sorpresa, os incluyo un vídeo grabado por mí mismo, en el cual hago el esbozo de una parábola explicando todos los pasos. Espero que os guste; si la idea tiene éxito me plantearé seguir grabando y colgando más videos propios. Lo malo es que escribir con una mano sujetando el papel y el boli y con la otra sujetando la cámara es bastante incómodo, pero bueno, no descarto comprarme algún día una tableta gráfica digital para que lo que escriba aparezca directamente en el ordenador. Sin más, os dejo con los vídeos:

¡Mi vídeo!

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Presentación en slideshare sobre funciones cuadráticas

Funcion cuadratica

View more OpenOffice presentations from Juanjo Expósito.

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Estudio previo de Funciones Cuadráticas

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Video mudo que representa dos rectas

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Puntos de corte entre recta y parábola

Parábolas everywhere

2009-05-29T19:28:00.009+01:00

Fotitos de parábolas que nos podemos encontrar por la calle. Cuando volváis a comer en un macdonalds miraréis a la hamburguesa de otra manera XD

Preguntas Sobre África

2009-05-29T19:10:00.003+01:00

Vídeo de la2noticias del 26 de mayo. Miradlo, que no tiene desperdicio:

Rosa Rosae Rosam

2009-05-29T18:41:00.005+01:00

Pues esta mañana estaba yo en clase, y casi sin quererlo solté aquello de "Cogito, Ergo Sum", que es una frase en latín que significa "Pienso, por lo tanto existo", y me dije que sería muy interesante poner a vuestra disposición una listilla de frases en latín famosas, para que las pongais de firma en el messenger, y así os hagais pasar por supereruditos y snobs, jajaja. Nah, es broma. De todos modos, os pongo las frases, hay algunas realmente interesantes, y como dice el refrán, "el saber no ocupa lugar" :

* «Fortuna iuvat audaces» ("La fortuna sonríe a los audaces").

* «Non scholae, sed vitae discere» ("No aprendáis de la escuela, sino de la vida").

* «Cogito, ergo sum» ("Pienso, luego existo") (René Descartes).

* «Alea iacta est» ("La suerte está echada") (frase pronunciada por Julio César al cruzar el río Rubicón a pesar de la negativa del Senado para que entrara en Italia: esta acción dio origen a la Guerra Civil Romana).

* «Inter arma, silent leges» ("Cuando las armas hablan, callan las leyes") (Michael Waltzer, en su obra Guerras justas e injustas).

* «Non nobis, Domine, sed nomini tuo da gloriam» ("No a nosotros, Señor, sino a tu nombre da gloria") (palabras con las que se arengaba a las tropas templarias antes de entrar en combate).

* «A Deo rex, a rege lex» ("De Dios el rey, del rey la ley") (lema del absolutismo monárquico que pensaba que el poder de la monarquía procedía directamente de Dios).

* «A fronte praecipitium, a tergo lupi» ("Al frente, un precipicio, los lobos a la espalda", es decir, "Entre la espada y la pared").

* «A fructibus cognoscitur arbor» ("Por sus frutos conocemos el árbol").

* «Ama et qod vis fac ("Ama y haz lo que quieras") (San Agustín)».

* «Divide et impera» (otra variante: «Divide et vinces» ("Divide y vencerás") (atribuida a Julio César, Filipo de Macedonia o Luis XI de Francia).

* «Ignavi coram morte quidem animam trahunt, audaces autem illam non saltem advertunt» ("Los cobardes agonizan ante la muerte, los valientes ni se enteran de ella") (Julio César).

* «Veni, vidi, vici» ("Llegué, vi y vencí") (Julio César).

* «Fere libenter homines, id quod volunt, credunt» ("La gente casi siempre cree de buena gana lo que quiere") (Julio César).

* «Carpe diem» ("Aprovecha el día, aprovecha la vida").

* «In medio consistit virtus / In medio stat virtus / In medio virtus» ("En el medio está la virtud").

* «Hoc non pereo habebo fortior me / Quod non me necat, fortior me facit / Quod non me occidit, me certe fortiorem reddit» ("Lo que no me mata, me hace más fuerte", traducción de la frase de Friederich Nietzsche: "Das mich nicht tötet, bildet mich stärker").

* «Entia non sunt multiplicanda praeter necessitatem» ("No ha de presumirse la existencia de más cosas que de las absolutamente necesarias": máxima conocida como "la navaja de Occam").

* «Aquila non capit muscas» ("El águila no caza moscas" = "Las grandes personas no se ocupan de problemas nimios").

Fuente

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Algunas más:

Veritas filia temporis
("La verdad es hija del tiempo")

Tempora tempore tempera
("Oportunamente aprovecha las épocas" = "Aprovecha el tiempo oportunamente")

Ad occasum tendimus omnes
("Todos tendemos al ocaso" Inscrito en un reloj de sol)

Qualis artifex pereo!
("¡Qué artista perece conmigo! Palabras que Nerón pronunció ante su lecho de muerte)

Quam bene vivas refert, non quam diu
("No importa cuánto vivas, sino que vivas bien").(Séneca)

Nihili est qui nihil amat
("Nada es (o vale) quien nada ama").(Plauto, El Persa)

Amor animi arbitrio samitur non ponitur
("Elegimos amar, pero no podemos elegir cuándo dejar de amar").

Nec sine te nec tecum vivere possum
("Ni sin ti ni contigo puedo vivir").(Ovidio, Amores, 3, 11, 39)

Qui invenit amicum, invenit thesaurum
("Quien ha encontrado un amigo, ha encontrado un tesoro").(Eclesiastés, 6, 14)

Fuente

Ejercicios de Repaso: RECTAS

2009-05-29T17:52:00.003+01:00

Aquí teneis unos cuantos ejercicios para practicar la representación gráfica y la obtención de ecuaciones de rectas, así como el cálculo de sus puntos de cortes.

- Calcula las ecuaciones de las rectas correspondientes, calcula sus puntos de cortes con los ejes y represéntalas gráficamente conociendo los siguientes datos:

I.- Conocidos un punto y la pendiente

1.- P (2.9) m = 3

2.- P(3, -1) m = -2

3.- P(-5, -2) m = 4

4.- P (-3, 7) m = -1

5.- P (0, 0) m = 6

II.- Conocidos un punto y la ordenada en el origen

1.- P (2.9) n = 3

2.- P(3, -1) n= -2

3.- P(-5, -2) n = 4

4.- P (-3, 7) n = -1

5.- P (2, 6) n = 3

III.- Conocidos dos puntos.

1.- P (3, 0) y Q (-2, -5)

2.- P( 4, -8) y Q (1, -2)

3.- P (-1, 1) y Q (3, 7)

4.- P (2.7) y Q (3, -1)

5.- P (5, 9) y Q (0, 0)

- Calcula los puntos de corte entre:

a) las rectas I.1 y I.2

b) las rectas II.3 y II.5

c) las rectas III.4 y III.5

Mi recomendación de hoy: La 2 Noticias

2009-05-26T21:27:00.003+01:00

Para salirme un poco del tono habitual de los últimos posts, voy a recomendar aquí un programa de televisión realmente magnífico. De esos que te hacen pensar que la televisión, tan llena últimamente de basura y de amarillismo es capaz de darnos todavía algo honorable.

En la 2 noticias se habla por supuesto, de la actualidad, pero también de muchos temas culturales y de denuncia social que el resto de noticiarios obvian constantemente.

En el informativo del día 26/05/2009 se habla, por ejemplo, del problema de África y del festival de cine africano que se celebra en Tarifa estos dias. (mirar en el video del enlace a partir del minuto 10:40)

Lo peor del programa es su horario, puesto que siempre lo emiten más allá de la medianoche, lo cual es un problema para los que debemos madrugar.

Pero gracias a internet, podeis ver el informativo siempre que queráis, desde esta página.

Realmente yo creo que merece la pena, espero que os guste y la agreguéis a favoritos como la tengo yo.

¿Y para qué sirven las funciones? (Para Paula)

2009-05-19T19:29:00.006+01:00

Generalmente se hace uso de las funciones reales, (aún cuando el ser humano no se da cuenta), en el manejo de cifras numéricas en correspondencia con otra, debido a que se está usando subconjuntos de los números reales. Las funciones son de mucho valor y utilidad para resolver problemas de la vida diaria, problemas de finanzas, de economía, de estadística, de ingeniería, de medicina, de química y física, de astronomía, de geología, y de cualquier área social donde haya que relacionar variables.
Cuando se va al mercado o a cualquier centro comercial, siempre se relaciona un conjunto de determinados objetos o productos alimenticios, con el costo en pesos para así saber cuánto podemos comprar; si lo llevamos al plano, podemos escribir esta correspondencia en una ecuación de función "x" como el precio y la cantidad de producto como "y".

Función Afín
Se puede aplicar en muchas situaciones, por ejemplo en economía (uso de la oferta y la demanda) los ecónomos se basan en la linealidad de esta función y las leyes de la oferta y la demanda son dos de las relaciones fundamentales en cualquier análisis económico. Por ejemplo, si un consumidor desea adquirir cualquier producto, este depende del precio en que el artículo esté disponible. Una relación que especifique la cantidad de un artículo determinado que los consumidores estén dispuestos a comprar, a varios niveles de precios, se denomina ley de demanda. La ley más simple es una relación del tipo P= mx + b, donde P es el precio por unidad del artículo y m y b son constantes.

Muchas son las aplicaciones de la función lineal en el caso de la medicina. Ciertas situaciones requieren del uso de ecuaciones lineales para el entendimiento de ciertos fenómenos. Un ejemplo es el resultado del experimento psicológico de Stenberg, sobre recuperación de información.
Esta dada por la formula y=mx+b donde m y b son números reales llamados pendiente y ordenada al origen respectivamente. Su gráfica es una recta.

Dada la ecuación y=mx+b:
Si m=0, entonces y=b. Es decir, se obtiene la función constante, cuya gráfica es una recta paralela al eje x que pasa por el punto (0,b).
Si b=0, entonces y=mx. Esta ecuación tiene por gráfica una recta que pasa por el origen de coordenadas (0,0).

Función Cuadrática
El estudio de las funciones cuadráticas resulta de interés no sólo en matemática sino también en física y en otras áreas del conocimiento como por ejemplo: la trayectoria de una pelota lanzada al aire, la trayectoria que describe un río al caer desde lo alto de una montaña, la forma que toma una cuerda floja sobre la cual se desplaza un equilibrista, el recorrido desde el origen, con respecto al tiempo transcurrido, cuando una partícula es lanzada con una velocidad inicial.

Puede ser aplicada en la ingeniería civil, para resolver problemas específicos tomando como punto de apoyo la ecuación de segundo grado, en la construcción de puentes colgantes que se encuentran suspendidos en uno de los cables amarrados a dos torres.
Los biólogos utilizan las funciones cuadráticas para estudiar los efectos nutricionales de los organismos.

Existen fenómenos físicos que el hombre a través de la historia ha tratado de explicarse. Muchos hombres de ciencias han utilizado como herramienta principal para realizar sus cálculos la ecuación cuadrática. Como ejemplo palpable, podemos mencionar que la altura S de una partícula lanzada verticalmente hacia arriba desde el suelo está dada por S= Vot - ½ gt^2, donde S es la altura, Vo es la velocidad inicial de la partícula, g es la constante de gravedad y t es el tiempo.
La función cuadrática responde a la formula: y= a x^2 + b x + c con a distinto de 0. Su gráfica es una curva llamada parábola cuyas características son:
Si a es mayor a 0 es cóncava y admite un mínimo. Si a es menor a 0 es convexa y admite un máximo.
Vértice: Puntos de la curva donde la función alcanza el máximo o el mínimo.
Eje de simetría: x = xv.
intersección con el eje y.
Intersecciones con el eje x: se obtiene resolviendo la ecuación de segundo grado.

Función Logarítmica
La geología como ciencia requiere del planteamiento de ecuaciones logarítmicas para el cálculo de la intensidad de un evento, tal como es el caso de un sismo. La magnitud R de un terremoto está definida como R= Log (A/Ao) en la escala de Richter, donde A es la intensidad y Ao es una constante. (A es la amplitud de un sismógrafo estándar, que está a 100 kilómetros del epicentro del terremoto).

Los astrónomos para determinar una magnitud estelar de una estrella o planeta utilizan ciertos cálculos de carácter logarítmico. La ecuación logarítmica les permite determinar la brillantez y la magnitud.
En la física la función logarítmica tiene muchas aplicaciones entre las cuales se puede mencionar el cálculo del volumen "L" en decibeles de un sólido, para el cual se emplea la siguiente ecuación L= 10 . Log (I/Io) , donde I es la intensidad del sonido (la energía cayendo en una unidad de área por segundo), Io es la intensidad de sonido más baja que el oído humano puede oír (llamado umbral auditivo). Una conversación en voz alta tiene un ruido de fondo de 65 decibeles.

Fuente

Las matemáticas ocultas en la vida cotidiana.

2009-05-19T19:13:00.005+01:00

Plasmo aquí un texto aparecido en la edición digital de "El País" hace algún tiempo, muy interesante acerca de la relación de las matemáticas con el mundo que nos rodea. Espero que os guste:

Dos caminos paralelos. En uno está el mundo físico, la naturaleza, la vida cotidiana del hombre. En el de al lado, ese lenguaje de pensamiento abstracto llamado matemáticas. Pero en el trayecto ambos caminos se conectan, mejorando de tal manera y tan a menudo la vida del hombre que los ejemplos se convierten en infinitos, tan cotidianos, que no hace falta más que ir al baño, encender la calefacción o el ordenador para encontrar matemáticas.

El ejemplo de los caminos paralelos lo ponía Gutam Mukharjee (45 años), del Instituto Indio de Estadística, durante un descanso de las sesiones del Congreso Internacional de Matemáticos que se acaba de celebrar en Madrid. Allí, unos 3.500 expertos discutieron sobre el presente y el futuro de esta ciencia y, además, mostraron cómo las matemáticas envuelven la vida cotidiana.

- Del termostato al buscador de Internet. Cuando alguien pone el termostato de la calefacción a una temperatura de 20 grados, la máquina encenderá los radiadores hasta que la casa esté un poco por encima de esos 20 grados. Después los apagará hasta que el ambiente esté un poquito por debajo de lo deseado. Luego volverá a encenderlos...

"La estrategia -cuándo se enciende, cuándo se apaga- no es trivial. Para calcularlo se utilizan ecuaciones matemáticas", explica Enrique Zuazua, profesor de la Universidad Autónoma de Madrid. Esas mismas ecuaciones se usan para mantener una velocidad constante en los lectores de CD, o para saber hasta dónde hay que llenar de agua la cisterna, añade.

"La gente está acostumbrada a que las cosas funcionen solas, pero detrás hay algo que las hace funcionar", explica Zuazua. Al introducir una palabra en el buscador de Internet, por ejemplo, en Google, los resultados tampoco son casuales. "Los matemáticos imaginamos la Red como un montón de canicas colocadas sobre una superficie. Hay que identificar quiénes son los que miran y quiénes los que son mirados, buscar la palabra que se pide y jerarquizar los resultados -si buscas la palabra Kleinberg, quieres encontrar a Jon Kleinberg, el científico que acaba de obtener el premio Nevanlinna, no al señor Kleinberg que vive no sé dónde". Todo eso se hace a través de algoritmos que contemplan todas esas variables.

- El casco de los ciclistas y el coche que menos consume. En los últimos años, la forma de los cascos de los ciclistas, al menos los que usan en una contrarreloj, ha cambiado: redondeados por delante, acabados en pico por detrás..., y no se trata de una cuestión estética, sino de aerodinámica, que intenta mejorar el rendimiento de los deportistas. Mediante ecuaciones, se simula el comportamiento de un objeto sólido (el casco, la bicicleta...) en interacción con un fluido (el aire) hasta dar con el diseño más eficiente (en este caso, el que ponga menos resistencia al aire). En los aviones, los coches o los barcos se utiliza el mismo procedimiento, y el diseño variará en función del objetivo: que sea más rápido, más estable o que gaste menos combustible.

- Decisiones y jerarquías reales. En las empresas, más allá de las jerarquías de jefes, subjefes, y tropa, las matemáticas permiten conocer la jerarquía real: qué empleado tiene mejores contactos o a quién hay que dirigirse para canalizar mejor una información. Lo hacen los matemáticos sometiendo los registros de sus correos electrónicos a la teoría de Grafos. Las aplicaciones de las matemáticas en sociología son muy amplias y van más allá de la estadística. Sirven incluso para evitar la propagación de una epidemia o para disminuir su impacto. Cuando no se dispone de medios para inmunizar o controlar a toda la población, las matemáticas permiten determinar a qué personas hay que vacunar para reducir el riesgo, explica Ángel Sánchez, de la Universidad Carlos III de Madrid.

- De la célula al espacio. Predecir el comportamiento de una célula (por ejemplo, una bacteria) y después programarla para que realice una función distinta, la que se necesite en cada momento. La segunda parte sería imposible sin la primera, predicción que se hace con matemáticas. Eso es lo que están haciendo en la Universidad de Valencia y la Universidad Politécnica de Valencia.

Y de lo más pequeño y cercano, a lo más lejano, el espacio. De nuevo con simulaciones matemáticas se calcula en qué momento exacto una sonda espacial ha de apagar los motores al entrar en contacto con la gravedad, y en qué momento, ya cerca del suelo, debe abrir los paracaídas y volver a encender los motores para aterrizar en su destino sin hacerse papilla.

- Una escultura como una ecuación. Música, pintura, escultura..., las artes se han apoyado siempre, de una u otra manera, en las matemáticas. Un ejemplo es la obra del escultor japonés Keizo Ushio, que trabaja con formas geométricas y topológicas como la Banda de Moëbius (una cinta de una sola cara y no orientable), o el toro (una superficie cerrada producto de la unión de dos circunferencias). Una muestra de esta última, realizada en granito durante el Congreso de Matemáticos, se puede encontrar en el futuro Centro de Física del campus de Cantoblanco (Madrid) del CSIC. A partir de cálculos matemáticos, Ushio fragmenta las formas para convertirlas en sus esculturas. "Las matemáticas son un lenguaje universal, y no hace falta papel para plasmarlas", explica. De hecho, asegura que hace sus cálculos "mentalmente".

Fuente

CRIPTOGRAMAS

2009-05-16T14:37:00.005+01:00

Se llama criptograma a toda operación aritmética en la que se remplazan los números por letras del alfabeto u otros símbolos.

Para resolver un criptograma es necesario conocer el valor numérico de cada letra (un número entero del 0 al 9), teniendo en cuenta que si una letra es distinta a otra, el valor numérico que esconde también es distinto.

Os propongo un par de criptogramas para resolver. Si lo conseguís, no dudéis en comunicármelo. Puede haber recompensa en forma de positivo.

C U A T R O
x 5
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V E I N T E

Presentando a las Funciones

2009-05-11T19:37:00.006+01:00

Aún recuerdo cuando, en mi etapa universitaria, uno de mis profesores nos mandó realizar una encuesta en la facultad en la que preguntáramos a la gente qué es una función. La inmensa mayoría de los encuestados no dio con la definición correcta, de hecho, ni tan siquiera se acercaron. Muchos dijeron que una función es una gráfica, lo cual es completamente erróneo. Quizás lo más divertido fue escuchar una respuesta que dijo que una función era lo que se hace en el teatro.

Bueno, más allá de las batallitas del abuelo, quiero usar este post para dar la bienvenida a las funciones, que siempre nos suelen llegar por esta época primaveral, y con las que trabajaremos ya hasta practicamente el final del curso.

Ah, y se me olvidaba. No os voy a dejar con la intriga, os presento la definición de función que vamos a estudiar, aunque no sea la más precisa que podáis encontrar: Una función es una CORRESPONDENCIA entre dos variables (numéricas), de modo que a cada elemento de la primera variable, llamada variable independiente, le asigna un único elemento de la segunda, llamada variable dependiente.

Veremos qué tal nos llevamos con estos nuevos personajes. ¡¡¡Mucha suerte!!!

Problemas Geometría del Triángulo

2009-04-29T11:10:00.006+01:00

Aquí tenéis una relación de ejercicios sobre la geometría del triángulo (Semejanza, Teorema de Thales, Teorema de Pitágoras, Teorema del Cateto y de la Altura)

Por si no se ven las páginas podéis bajarlas vía rapidshare:

http://rapidshare.com/files/227170286/problemastriangulos.rar

Rectas y Puntos Notables del Triángulo

2009-04-25T12:27:00.007+01:00

Mediatrices y Circuncentro

La mediatriz de un segmento es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de los extremos del segmento. Este lugar geométrico resulta ser la recta perpendicular al segmento por su punto medio.

En un triángulo, las mediatrices de los tres lados se cortan en un único punto, llamado circuncentro que es centro de la circunferencia circunscrita al triángulo.

Bisectrices e Incentro

Las bisectrices de un triángulo son las rectas que dividen a sus ángulos en dos partes iguales.

Las bisectrices de un triángulo se cortan en un punto llamado incentro, que es centro de la circunferencia inscrita al triángulo.

Medianas y Baricentro

Las medianas de un triángulo son las rectas que se obtienen al unir cada uno de los vértices del triángulo con el punto medio del lado opuesto a él.

Las tres medianas de un triángulo se cortan en un punto que se llama baricentro.

Alturas y Ortocentro

Las alturas de un triángulo son las rectas perpendiculares que van desde un vértice al lado opuesto o a su prolongación.

Las tres alturas de un triángulo se cortan en un punto que se llama ortocentro.

El ortocentro puede estar situado en el interior del triángulo, en el caso de los triángulos acutángulos; en uno de sus vértices, en los triángulos rectángulos; o en el exterior, en los triángulos obtusángulos.

Un poco de Autopropaganda

2009-04-11T23:03:00.008+01:00

Bueno, como muchos sabéis, aparte de las matemáticas y la docencia, mi otra gran pasión es el dibujo. Estos días he rescatado algunos que tenia por ahi guardados, y los he escaneado. Algunos son de hace muchos años, allá por el año 96 y otros son de este mismo verano. Por supuesto hay muchos más, pero no quiero saturar el blog, así que he escogido cinco que sirvan como muestra. Espero que os gusten ;-)

EULER, ¿el mejor matemático del siglo XVIII?

2009-04-11T22:47:00.004+01:00

Leonhard Euler fue un matemático suizo, cuyos trabajos más importantes se centraron en el campo de las matemáticas puras, campo de estudio que ayudó a fundar.

Euler nació en Basilea en 1707 y estudió en la Universidad de Basilea con el matemático suizo Johann Bernoulli, licenciándose a los 16 años. En 1727, por invitación de la emperatriz de Rusia Catalina I, fue miembro del profesorado de la Academia de Ciencias de San Petersburgo. Fue nombrado catedrático de física en 1730 y de matemáticas en 1733.

En 1741 fue profesor de matemáticas en la Academia de Ciencias de Berlín a petición del rey de Prusia, Federico el Grande. Euler regresó a San Petersburgo en 1766, donde permaneció hasta su muerte.

Aunque obstaculizado por una pérdida parcial de visión antes de cumplir 30 años y por una ceguera casi total al final de su vida, Euler produjo numerosas obras matemáticas importantes, así como reseñas matemáticas y científicas.

En su Introducción al análisis de los infinitos (1748), Euler realizó el primer tratamiento analítico completo del álgebra, la teoría de ecuaciones, la trigonometría y la geometría analítica. En esta obra trató el desarrollo de series de funciones y formuló la regla por la que sólo las series convergentes infinitas pueden ser evaluadas adecuadamente.

También abordó las superficies tridimensionales y demostró que las secciones cónicas se representan mediante la ecuación general de segundo grado en dos dimensiones. Otras obras trataban del cálculo (incluido el cálculo de variaciones), la teoría de números, números imaginarios y álgebra determinada e indeterminada.

Uno de sus mayores logros es el llamado teorema de los poliedros en el cual indica la relación entre el número de caras, aristas y vértices de un poliedro convexo simple. (Es la fórmula que aparece en la imagen del sello arriba - En castellano es: Número de caras + Número de Vértices = Número de Aristas + 2 )

Euler tenía una memoria prodigiosa; recordaba las potencias, hasta la sexta, de los 100 primeros números primos, y la Eneida entera. Realizaba cálculos mentalmente que otros matemáticos realizaban con dificultad sobre el papel.

La productividad matemática de Euler fue extraordinaria. Nos encontramos su nombre en todas las ramas de las matemáticas: Hay fórmulas de Euler, polinomios de Euler, constantes de Euler, integrales eulerianas y líneas de Euler.

Fuentes:
wikipedia
http://www.astromia.com/biografias/euler.htm

Michael Giacchino.- Life and Death.

2009-04-11T22:40:00.003+01:00

De la maravillosa banda sonora de la serie LOST, os propongo que os relajéis y escuchéis esta preciosa pieza musical de uno de los compositores con más proyección en estos momentos en el mundo de las bandas sonoras. Un placer para los oídos.

Nostalgia

2009-04-11T14:24:00.004+01:00

" ‘¡Estel, Estel!' -exclamó Arwen, y mientras le tomaba la mano
y se la besaba, Aragorn se quedó dormido. Y de pronto, se reveló
en él una gran belleza, una belleza que todos los que más tarde
fueron a verlo contemplaron maravillados, porque en él veían
unidas la gracia de la juventud y el valor de la madurez, y la
sabiduría y la majestad de la vejez. Y allí yació largo tiempo,
una imagen del esplendor de los Reyes de los Hombres en la
gloria radiante anterior al desgarramiento del mundo.

"Pero Arwen salió de la Casa, y la luz se le había extinguido en
los ojos, y a los suyos les pareció que se había vuelto fría y
gris como un anochecer de invierno que llega sin una estrella.
Entonces dijo adiós a Eldarion, y a sus hijas, y a todos
aquellos a quienes había amado; y abandonó la ciudad de Minas
Tirith y se encaminó al país de Lórien, y allí vivió sola al
amparo de los árboles que amarilleaban hasta que llegó el
invierno. Galadriel había desaparecido y también Celeborn había
partido, y el país estaba silencioso.

"Y allí por fin, cuando caían las hojas de mallorn pero no había
llegado aún la primavera, se acostó a descansar en lo alto de
Cerin Amroth; V allí estará la tumba verde, hasta que el mundo
cambie, y los días de la vida de Arwen se hayan borrado para
siempre de la memoria de los hombres que vendrán luego, y la
elanor y la niphredil no florezcan más al este del Mar.

JRR Tolkien, fragmento de los apéndices de El Señor de los Anillos.

El Heptadecágno Regular y Gauss

2009-04-11T10:03:00.007+01:00

Cuando Gauss tenía diecinueve años todavía dudaba entre sus dos grandes pasiones: la filología o las matemáticas. Lo que hizo que se decantara por ésta última fue su descubrimiento de que al contrario de lo que pensaba todo el mundo por aquel entonces, se podía construir el polígono regular de 17 lados de forma exacta con regla y compás. Es más, dio con una regla que permitía saber cuándo se podía construir de forma exacta un polígono regular según un número de lados cualquiera.

Según las palabras de Gauss: "Fue el día 29 de marzo de 1796, durante unas vacaciones en Brunswick, y la casualidad no tuvo la menor participación en ello ya que fue fruto de esforzadas meditaciones; en la mañana del citado día, antes de levantarme de la cama, tuve la suerte de ver con la mayor claridad toda esta correlación, de forma que en el mismo sitio e inmediatamente apliqué al heptadecágono la correspondiente confirmación numérica."

Aquí os detallo cómo construir esta asombrosa figura:

Parte 1

Partimos de un eje de coordenadas con centro O y otro punto en el eje X al que llamamos A. Trazamos circunferencia c de centro O y radio OA. Llamamos B al punto de corte de esa circunferencia con la parte positiva del eje Y y trazamos circunferencia de centro B y radio OB. Esta circunferencia corta a c en dos puntos a los que llamamamos C y D. Trazamos el segmento CD que corta al eje Y en un punto al que llamamos E. Las figuras construidas en este paso están en color negro.

Parte 2

Trazamos las circunferencias de radio OE que tienen sus centros en O y en E. Llamamos a los dos puntos de corte entre ellas F y G. Trazamos el segmento FG que corta al eje Y en un punto al que llamamos H. Trazamos ahora la bisectriz del ángulo AHO y después la bisectriz de ella con el eje Y. Llamamos I a la intersección de esta última bisectriz con el eje X. Las figuras construidas en este paso están en color azul.

Parte 3

Trazamos la perpendicular al segmento HI que pasa por el punto H y después la bisectriz de esta recta con la recta que pasa por H y por I. Llamamos J al punto de corte con el eje X. Construimos el punto medio del segmento AJ y lo llamamos K. Trazamos la circunferencia de centro K y radio KA. Llamamos L al punto de corte de esta circunferencia con la parte superior del eje Y. Las figuras construidas en este paso están en color verde.

Parte 4

Trazamos la circunferencia de centro I y radio IL y llamamos M y N a los puntos de corte de la misma con el eje X (nótese que N queda muy cerca de K, pero no son el mismo punto). Trazamos las perpendiculares al eje X que pasan por M y por N. Estas perpendiculares cortan a la circunferencia inicial c en P y Q, que son dos de los vértices del heptadecágono. Trazamos la bisetriz del ángulo POQ que corta a la circunferencia inicial c en el punto R, que es también uno de los vértices del heptadecágono. De hecho la longitud de cada uno de los lados es tanto la distancia PR como la distancia RQ. Trasladando esta distancia por la circunferencia inicial las veces necesarias obtenemos los vértices que nos faltan. Las figuras construidas en este paso están en color rojo.

Final

Uniendo todos los vértices obtenidos llegamos a la construcción del heptadecágono. Para que se vea mejor he eliminado la circunferencia inicial.

Para terminar este post, os dejo la foto del monumento dedicado a Gauss en Brunswick (Alemania)

Fuentes:
http://gaussianos.com
http://www.w-volk.de/museum/monum11.htm
http://www.geothesis.com

TRABAJO DE SEMANA SANTA para los Alumnos con la 2ª Evaluación suspensa o con aprobado condicional.

2009-03-28T18:04:00.004Z

Bueno, pues aquí os dejo los ejercicios que teneis que hacer para poder optar a hacer los exámenes de recuperación que se realizarán los días 27 y 28 de Abril. Ya os especificaré en clase la fecha y la hora exacta.

Los ejercicios deberán ser entregados antes del examen, y deben estar presentados en folios en blanco, con los enunciados escritos (salvo los enunciados de los problemas del archivo pdf) y lo más ordenado y limpio posible.

Todos los ejercicios deben estar hechos a bolígrafo.

(Nota: Recuerdo que para descargar el archivo pdf, cuando hagáis click en el enlace teneis que darle al botón de "Free User" en la nueva página que os aparecerá, y tras esto hacer click en el botón azul con flecha "download")

3º ESO:

Pág 88: 27, 31, 34, 38, 42, 46.
Pág 124: 46, 49, 50, 62.

Pdf con 15 Problemas para resolver:

PROBLEMAS DE ECUACIONES Y SISTEMAS.

4º ESO:

Pág 74: 27, 30, 32
Pág 92: 32
Pág 56: 31, 33, 36, 38, 39, 43.

Pdf con 15 Problemas para resolver:

PROBLEMAS DE ECUACIONES Y SISTEMAS.

+ Ejercicios de Progresiones Aritméticas y Geométricas

2009-03-25T10:55:00.004Z

En el siguiente enlace he encontrado un pdf con varios ejercicios de progresiones que incluyen soluciones. De todos los que hay, los que recomiendo principalmente que hagáis son los siguientes:

PROGRESIONES ARITMÉTICAS
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 25, 29, 30

PROGRESIONES GEOMÉTRICAS
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 14, 15, 16, 26, 27, 32, 34, 35

Una pequeña obra maestra: La Maison en Petits Cubes

2009-03-16T23:45:00.006Z

Os dejo aquí el corto ganador del oscar de este año. Una auténtica delicia para los sentidos.

Os coloco la reseña que de él se puede leer en el blog "planetaotaku", que me parece bastante interesante:

"El concepto que encierra la trama de Petits Cubes, aunque ficción, tensa las evidencias ocasionadas por el calentamiento global que padecemos (y propiciamos) en una metáfora audiovisual sobresaliente: El futuro es hoy, el desastre es hoy, pero igualmente la vida también es hoy.

En consecuencia, ante la catástrofe, un anciano octogenario se aferra a sus raíces. Solitario, entre cuatro muros levantados por él mismo y cimentados sobre sus moradas anteriores, aguarda el destino: el mandato natural de reunirse con sus antepasados en otra vida. Lo rodean, además de un océano 100 metros sobre el nivel actual, sus memorias inmortalizadas en instantes fotográficos, todos ellos colocados en la pared: abuelos, padres, hijos, nietos; generaciones que saturan sus pensamientos todo el tiempo.

Un descuido lo arrastra a sumergirse en las profundidades, geográficas y sentimentales, de lo que supone un largo trecho: el tiempo permanecido en este mundo y las personas que lo han acompañado en su recorrido. Recursos narrativos como el flashback se fusionan con el tiempo lineal de la historia, de tal forma que apenas entrecorta la fluidez del viaje submarino. Sobran diálogos cuando no existe nadie más que uno mismo, hermético envase de acontecimientos que ya no son.

No hay quejas, causas, culpables ni soluciones. El protagonista se adapta a las circunstancias, arrojarse al desencanto y desesperanza no le devolverá a sus seres queridos. La riqueza ancestral lo mantiene en pie y lo conmina a seguir adelante ante cualquier adversidad. Al final, basta con tabaco, vino, cubiertos y mesa para dos, todo frente al ocaso de otro día más en el mundo de cada quien."

Podéis descargaros el corto en los siguientes enlaces:

http://rapidshare.com/files/206688105/La_Maison_en_Petits_Cubes.part1.rar
http://rapidshare.com/files/206694043/La_Maison_en_Petits_Cubes.part2.rar

Humor Matemático

2009-03-02T11:43:00.006Z

Porque las matemáticas son más divertidas de lo que parecen (o no XD)

Camiseta para ligar. Éxito garantizado.

Poemas para Andalucía

2009-03-01T18:09:00.008Z

Para conmemorar el día de Andalucía, que fue ayer, 28 de Febrero, creo que puede estar bien publicar en este blog algunos poemas de grandes autores andaluces, que han conseguido gracias a su talento que nuestra comunidad sea reconocida en el mundo entero.

La primera que os pongo es muy muy típica, pero aunque la hayais leído muchas veces, siempre es agradable redescubrir la poesía de este granadino universal.

Romance Sonámbulo de Federico García Lorca

Verde que te quiero verde.
Verde viento. Verdes ramas.
El barco sobre la mar
y el caballo en la montaña.
Con la sombra en la cintura
ella sueña en su baranda
verde carne, pelo verde,
con ojos de fría plata.
Verde que te quiero verde.
Bajo la luna gitana,
las cosas la están mirando
y ella no puede mirarlas.

Verde que te quiero verde.
Grandes estrellas de escarcha,
vienen con el pez de sombra
que abre el camino del alba.
La higuera frota su viento
con la lija de sus ramas,
y el monte, gato garduño,
eriza sus pitas agrias.
¿Pero quién vendrá? ¿Y por dónde...?
Ella sigue en su baranda,
verde carne, pelo verde,
soñando en la mar amarga.

Compadre, quiero cambiar
mi caballo por su casa,
mi montura por su espejo,
mi cuchillo por su manta.
Compadre, vengo sangrando
desde los puertos de Cabra.

Si yo pudiera, mocito,
este trato se cerraba.
Pero yo ya no soy yo,
ni mi casa es ya mi casa.

Compadre, quiero morir
decentemente en mi cama.
De acero, si puede ser,
con las sábanas de holanda.
¿ No veis la herida que tengo
desde el pecho a la garganta?

Trescientas rosas morenas
lleva tu pechera blanca.
Tu sangre rezuma y huele
alrededor de tu faja.
Pero yo ya no soy yo.
Ni mi casa es ya mi casa.

Dejadme subir al menos
hasta las altas barandas,
¡Dejadme subir!, dejadme
hasta las altas barandas.
Barandales de la luna
por donde retumba el agua.

Ya suben los dos compadres
hacia las altas barandas.
Dejando un rastro de sangre.
Dejando un rastro de lágrimas.
Temblaban en los tejados
farolillos de hojalata.
Mil panderos de cristal,
herían la madrugada.

Verde que te quiero verde,
verde viento, verdes ramas.
Los dos compadres subieron.
El largo viento dejaba
en la boca un raro gusto
de hiel, de menta y de albahaca.

¡Compadre! ¿Dónde está, dime?
¿Dónde está tu niña amarga?

¡Cuántas veces te esperó!
¡Cuántas veces te esperara,
cara fresca, negro pelo,
en esta verde baranda!

Sobre el rostro del aljibe,
se mecía la gitana.
Verde carne, pelo verde,
con ojos de fría plata.
Un carámbano de luna
la sostiene sobre el agua.
La noche se puso íntima
como una pequeña plaza.
Guardias civiles borrachos
en la puerta golpeaban.

Verde que te quiero verde.
Verde viento. Verdes ramas.
El barco sobre la mar.
Y el caballo en la montaña.

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El siguiente es un poema del sevillano Machado, corto pero lleno de sensibilidad.

Pegasos, lindos pegasos de Antonio Machado

Pegasos, lindos pegasos,
caballitos de madera.

Yo conocí siendo niño,
la alegría de dar vueltas
sobre un corcel colorado,
en una noche de fiesta.

En el aire polvoriento
chispeaban las candelas,
y la noche azul ardía
toda sembrada de estrellas.

¡Alegrías infantiles
que cuestan una moneda
de cobre, lindos pegasos,
caballitos de madera!

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El turno del más conocido poeta portuense:

Tal vez, oh, mar de Rafael Alberti

Tal vez, oh mar, mi voz ya esté cansada
y le empiece a faltar aquella transparencia,
aquel arranque igual al tuyo, aquello
que era tan parecido a tu oleaje.

Han pasado los años por mí, sus duras olas
han mordido la piedra de mi vida,
y al viento de este ocaso playero ya la miro
doblándose en las húmedas arenas.

Tú, no; tú sigues joven, con esa voz de siempre
y esos ojos azules renovados
que ven hundirse, insomnes, las edades.

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Y, para terminar, volvemos a Sevilla, para leer un poema de Becquer. Es una de sus rimas más conocidas, y en este caso me gustaría dedicársela a mi padre, pues es su rima favorita:

Rima VII de Gustavo Adolfo Becquer
Del salón en el ángulo oscuro,
de su dueño tal vez olvidada,
veíase el arpa.

¡Cuánta nota dormía en sus cuerdas
como el pájaro duerme en la rama
esperando la mano de nieve
que sabe arrancarlas!

¡Ay! -pensé-, ¡Cuántas veces el genio
así duerme en el fondo del alma,
y una voz, como Lázaro, espera
que le diga: “Levántate y anda”!

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Sistemas de Ecuaciones

2009-02-23T15:08:00.003Z

Aquí os dejo el scan de los sistemas de ecuaciones que he dejado en conserjería, por si preferís descargarlas aquí:

Cara 1

Cara 2

Un San Valentín Matemático.

2009-02-14T18:05:00.012Z

Desde el magnífico blog GAUSSIANOS os traigo un post muy especial para este día de los Enamorados. Disfrutadlo de todo corazón:

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Los sentimientos, y concretamente el amor, son de las pocas cosas de nuestra vida en las que la influencia de las matemáticas no es muy grande. No se puede explicar matemáticamente el amor, pero sí podemos demostrarlo utilizando las matemáticas. Demostrar el amor mediante, por ejemplo, un poema, está ya muy visto y generalmente no impresiona demasiado.

¿Qué mejor forma de demostrar nuestro amor entregando nuestro corazón? ¿Entregamos entonces un dibujo para ello? Demasiado imperfecto. Mejor que un programa de ordenador lo haga por nosotros, ya que así evitamos los errores (sabemos que no siempre es así, pero para el caso que nos ocupa nos sirve). Vamos a ver cómo el programa Mathematica nos puede ayudar a ello.
¡Demostremos nuestro amor!

Amor en 2-D

Vamos a dibujar un corazón solapando las siguientes curvas, que son las que vamos a utilizar en todo este apartado:

(parte del dibujo contenida en el semiplano superior)
(parte del dibujo contenida en el semiplano inferior)

Para representarlas en Mathematica introducimos el siguiente código:

f[x_]:=Sqrt[1-(Abs[x]-1)^2];
g[x_]:=ArcCos[1-Abs[x]]-Pi;
Plot[{f[x],g[x]},{x,-2,2},AspectRatio->Automatic]

El resultado es el siguiente:

Corazón en 2D

Queda bonito…pero se puede mejorar. ¿Qué mejor que un corazón rojo? Y mejor con un trazo más ancho…y si se pudieran quitar los ejes sería perfecto. Ahí va:

Plot[{f[x],g[x]},{x,-2,2},AspectRatio->Automatic,PlotStyle-> {{RGBColor[1,0,0],Thickness[0.05]},{RGBColor[1,0,0],Thickness[0.05]}},Axes->False]

Cuyo resultado es el siguiente:

Corazón rojo en 2D

Cambiando los valores de la opción Thickness podemos variar la anchura del trazo.

Pero podríamos pedir más cosas. Cualquiera puede dibujar un corazón más o menos bien hecho y colorearlo entero de rojo (o de cualquier otro color). ¿Podemos nosotros? Pues claro que sí:

< < Graphics`FilledPlot` (para introducirlo en Mathematica quitad los espacios)
FilledPlot[{f[x],g[x]},{x,-2,2},Fills->{{{1, 2},RGBColor[1,0,0]}},Curves->None,AspectRatio->Automatic,Axes->False]

El resultado gráfico es el siguiente:

Corazón rojo relleno en 2D

¿A que es bonito? Pues aún hay más.

Amor en 3-D

Hemos dicho que todo el mundo puede dibujar un corazón en dos dimensiones más o menos decente y colorearlo de rojo, aunque hemos visto que con Mathematica el dibujo puede quedarnos mucho mejor. ¿Y si queremos dibujarlo en tres dimensiones? Parece más complicado. De hecho posiblemente a mucha gente le costaría mucho que su dibujo quedara mínimamente decente. Con Mathematica también podemos demostrar nuestro amor en 3-D. Además os voy a dar dos formas:

* Vamos a representar la superficie cuya ecuación implícita es:

Cargamos el paquete ContourPlot3D:

< < Graphics`ContourPlot3D` (quitadle los espacios)

Y dibujamos el corazón:

ContourPlot3D[(x^2+9/4 y^2+z^2-1)^3-x^2 z^3-9/80 y^2 z^3,{x,-3,3},{y,-3,3}, {z,-3,3},MaxRecursion->3,ViewPoint->{2.032,2.290,1.294},Axes->True,AxesLabel->{"Eje X", "Eje Y","Eje Z"}]

Obtenemos lo siguiente:

Corazón en 3D

Sí, ya lo sé, en rojo queda mucho mejor. Y sin ejes. Y si la caja. Vamos a ello:

ContourPlot3D[(x^2+9/4 y^2+z^2-1)^3-x^2 z^3-9/80 y^2 z^3,{x,-3,3},{y,-3,3},{z,-3,3},MaxRecursion->3,ViewPoint->{1,2.5,1}, Axes->False,LightSources->{{{0,0,1},RGBColor[1,0,0]}},Boxed->False]

Aquí lo tenemos:

Corazón rojo en 3D-1
* La segunda opción es representar la superficie cuya ecuación implícita es:

En este caso vamos a darlo directamente en rojo, sin ejes y sin caja. Para ello debemos tener ya cargado el paquete ContourPlot3D y ejecutar la siguiente orden en Mathematica:

ContourPlot3D[(2 x^2+y^2+z^2-1)^3-1/10 x^2 z^3-y^2 z^3,{x,-3,3},{y,-3,3},{z,-3,3},MaxRecursion->3,ViewPoint->{2.5,1,1}, Axes->False,LightSources->{{{0,0,1},RGBColor[1,0,0]}},Boxed->False]

Obteniendo así el corazón buscado:

Corazón rojo en 3D-2

Conclusión

Como podéis ver hemos conseguido nuestro objetivo: hemos conseguido que las matemáticas nos ayuden a demostrar nuestro amor a alguien. Por tanto podemos decir que hay funciones y ecuaciones que representar el amor, que lo llevan dentro, y que nos sirven para que mostremos el nuestro por alguien.

I Love Math

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Carnaval 2009

2009-02-13T17:02:00.002Z

Bueno, pues dentro de poquito empieza el carnaval aquí en Cádiz, y de las letras de este año me quedo con una preciosa de Juan Carlos Aragón dedicada a la Muerte. En mi opinión, Juan Carlos es hoy día el mejor compositor del carnaval, y aunque este año su comparsa es claramente inferior a las de otros años, nos ha regalado un pasodoble con una música y una letra estremecedoras. Que lo disfruten.

LA MUERTE

La muerte es una playa con cara de pena,
desnuda bajo el cielo bailando encendida.
La muerte es una lluvia que cae hacia arriba
y con su pelo largo y su espalda morena,
llevamos esperándola toda la vida.

La muerte es la mejor despedida del hombre,
No reconoce generos, patrias ni edades.
Cuando estás como vivo se espera y se esconde,
y pasa con nosotros cien mil navidades.

La muerte vive en la calle de al lado,
a la derecha del bar,
Es familia de la sangre roja,
dolor y esqueleto.

La muerte compra en el supermercado
vino y rosas para merendar.
Yo, desnudo, siempre la saludo
y le guardo un respeto.

La muerte un día se metió en mi cama,
y con su espalda morena y su cara de pena,
me puso la mano en mi lado más sano y le dije que si,
pero como una fulana se fue de mi cama,
y me dijo: “cabrón, tú todavía no, te ha tocado vivir”.

Su risa era como el viento de levante,
tan divina y tan humana
que era igual que una obra de arte.
Y como pude, yo le susurré al oído:
“si algún día tú te aburres,
pues ya sabes donde vivo”
“si algún día tú te aburres,
pues ya sabes donde vivo”.

Y al final como si fuera una dama decente,
me puso el pan caliente para desayunar.
Nunca olvidaré la suerte de cuando la muerte me vino a encontrar,
Con la brocha en la pared me pintó centinela.
Que cuando te toque a ti yo te vengo a buscar
y te voy a llevar al laito de los míos,
tu amigo, tu tío, tu hermano y tu abuela.

¡Empieza el show de las Ecuaciones!

2009-01-28T11:48:00.005Z

Bueno, ya están aquí, ya han llegado, y esta vez es para quedarse mucho tiempo con nosotros: nuestras queridas ecuaciones, que como cada año regresan por estas fechas para colmarnos de felicidad matemática.

Si hay una manera de salir victoriosos de nuestra relación con las ecuaciones es hacer cientos de ellas, ¡miles! Así que para empezar y a modo de aperitivo os cuelgo un pdf que he encontrado en internet acerca de la resolución de ecuaciones de primer grado con una incógnita y problemas que se resuelven usando este tipo de ecuaciones. ¡A por ellas!

ECUACIONES DE PRIMER GRADO

ACTUALIZACIÓN:

Aquí teneis dos páginas con problemas de ecuaciones de primer y segundo grado:
Problemas
Más problemas

Solucionario tema 5 (3º ESO)

2009-01-21T12:01:00.002Z

En el subsiguiente enlace tenéis las soluciones a los ejercicios propuestos del tema 5. Recordad que no os servirán de nada si antes no habéis intentado hacerlos por vuestra cuenta. Aparte de los ejercicios propuestos y recomendados por mí en clase, os adjunto las soluciones de otros ejercicios del libro, por si alguno quiere ampliar el número de problemas para preparar el examen.

http://rapidshare.com/files/187062762/solucionariotema5.rar

Os recuerdo que el examen del tema 5 tendrá lugar:

Para 3ºB y 3ºC, el lunes día 26 de Enero.

Para 3ºA, el martes día 27 de Enero.

Sobre Polinomios, Divisiones, Raices y Factorizaciones

2009-01-16T20:56:00.002Z

¡Guau! ¡Menuda semanita hemos tenido! Hemos seguido "ruffineando", hemos aprendido el teorema del resto, el teorema del factor, lo que es la raíz de un polinomio, el número de raíces enteras que puede tener un polinomio, estamos a punto de saber factorizar un polinomio, y encima hemos aprendido algo más sobre un auténtico dios matemático: Carl Friedrich Gauss.(en este enlace teneis su biografía)

Además, vuestra actitud esta semana ha sido realmente estupenda, ha sido un auténtico placer poder compartir este tema con vosotros, ya que es un tema que a mí particularmente me apasiona, y la gran mayoría de vosotros me habeis seguido con gran atención y creo, que incluso os habeis divertido. Muchas gracias por eso.

Quería hoy, aparte de proponeros más ejercicios para hacer en casa, recordar la importancia que tiene el tener muy en cuenta que:

Si, por ejemplo, x=3 es raíz de un polinomio P(x), esto significa que:

P(3)= 0
(x-3) es factor del polinomio
El resto de dividir el polinomio entre (x-3) es 0

Y si x=-3 es raiz del polinomio P(x), entonces:

P(-3) = 0
(x+3) es factor del polinomio
El resto de dividir el polinomio entre (x + 3) es 0.
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Bueno, sin más preámbulos os dejo aquí más ejercicios para resolver en casa. Recordad que estos ejercicios sirven para ampliar los que vemos en clase, y que no teneis que preocuparos si hay alguno que no os salga. Lo importante es que lo intentéis.
!!!Que paseis un muy buen fin de semana!!!

Ejercicios:

http://www.vadenumeros.es/cuarto/ejercicios-de-polinomios.htm

http://rapidshare.com/files/184522123/ejercicios_division_de_polinomios_y_ra_ces.pdf

Feliz año 2009

2009-01-01T11:27:00.002Z

Bueno, en este 1 de Enero me gustaría felicitar el año a todos los que leen este humilde blog, en especial a todos los alumnos y alumnas que lo siguen y que hacen que realmente tenga sentido y utilidad.

A todos os quisiera dedicar y regalar este video, que aunque tiene ya bastante tiempo, es tremendamente hermoso y tiene un mensaje que, en esta época de crisis y de guerras, es más necesario que nunca. Un abrazo.

Acerca de Paolo Ruffini

2008-12-27T12:09:00.005Z

Paolo Ruffini (1765-1822) nació en Valentino (Italia). El padre de Paolo Ruffini era medico y su familia vivió en Valentino para trasladarse sucesivamente a Regio y después a Modena mientras que Ruffini iba realizando sus estudios básicos para ingresar en la universidad de la última ciudad con 18 años.

Obtuvo el graduado en filosofía, literatura, medicina y cirugía. Poco después obtendría la misma titilación en matemáticas.

Fue profesor de universidad con cátedra propia impartiendo la materia “principios de análisis”. En 1791, durante la revolución francesa, obtuvo la licencia para ejercer la medicina en el colegio médico de Modena.

Fue entonces cuando las tropas de Napoleón entraron en Italia, tomando entre otras, la ciudad de Modena y Ruffini se convirtió, con poco agrado al cargo al parecer, en uno de los representantes de los jueces del Consejo de la República Cisalpina que se acababa de crear. Tal fue su malestar por aquello que se negó a jurar la bandera de la república y por ello se vió fuera de la universidad perdiendo su cátedra.

En 1798 volvió a sus trabajos científicos en la universidad de Modena. Fue entonces cuando comenzó sus ardua demostración para determinar si existía o no una expresión por radicales para las soluciones de ecuaciones de grado igual o mayor que cinco. Dicha demostración y ya había sido intentada por varias generaciones de matemáticos con infructuosos resultados.

En su libro “Teoria generale delle equazioni”, publicado en Bolonia en 1798, Ruffini ya expresaba su idea de que era imposible una expresión o fórmula por radicales para las soluciones de aquellas ecuaciones. Incluso el libro consideraba una demostración para consolidar su conclusión. La demostración pasó prácticamente desapercibida durante muchos años, hasta que un gran matemático, Cauchy(1789-1857), se interesó por la misma, casi al final de la vida de Ruffini.

La desgracia para Ruffini fue que dicha demostración contenía errores que llevaban a pensar que la demostración no estaba completa.

Niels Henrik Abel (1802-1829), brillante y muy joven matemático noruego de la época, dio por fin la demostración correcta y desde entonces el teorema se denomina en honor a los dos matemáticos, teorema de Abel-Ruffini.

Sin embargo, durate aquellos largos años Ruffini desarrolló un método, muy popular desde entonces, para calcular por semi-tanteo, las raíces de polinomios (lo cual se considerá una muy buena aproximación a la fórmula inexistente para encontrar las soluciones de una ecuación). Este método se le conoce como la “regla de Ruffini”. En el siguiente enlace podeis ver un ejemplo de aplicación de la Regla de Ruffini:

REGLA DE RUFFINI en ACCIÓN

Paolo Ruffini fue nombrado en 1814, rector de la Universidad de Módena, a la vez que ejerció sus conocimientos de medicina tratando de sanar a los múltiples enfermos que se desencadenaron a raíz de una fuerte epidemia de tifus. Desgraciadamente, contrajo la dicha enfermedad en su trabajo diario con los enfermos muriendo de la misma unos años más tarde.

Fuente: http://olmo.pntic.mec.es/~dmas0008/matematicos/ruffini.htm

Cómo contar 45 minutos con dos cuerdas y un mechero.

2008-12-22T18:34:00.003Z

Os propongo hoy un acertijo, a ver quién es capaz de dar con la solución. Tenéis todas las navidades para pensarlo, jajaja.

El acertijo es el siguiente:

No tenemos reloj, ni nada que cuente el tiempo, y necesitamos calcular 45 minutos exactos.

Disponemos de lo siguiente:

- Un mechero
- 2 cuerdas que si les prendemos fuego en un extremo, se consumen desde el principio hasta el final en una hora cada una, de una forma no lineal (o sea, que el que se haya quemado a la mitad una cuerda no quiere decir que haya pasado media hora).

¿Cómo hacer para contar 45 minutos usando las cuerdas y el mechero?

Me confieso LOST-adicto

2008-12-22T18:21:00.003Z

Sí, lo reconozco. Estoy totalmente enganchado a esta serie. Me está costando horrores esperar con paciencia a que se estrene la quinta temporada, dentro de un mes. Porque LOST es diferente a todo lo que haya visto antes.

Una serie en el que se unen la ciencia-ficción, el drama, la comedia, la aventura, el misterio, el romanticismo... probablemente la mejor serie de la historia televisiva.

Hay mucha gente que no entiende este fanatismo hacia la serie. Que la tachan de tramposa, de meter mucho rollo, de jugar con el espectador... pues vale. Pero los buenos momentos superan en mucho a los malos.

No les voy a negar que la serie tenga momentos de bajón, que los tiene, especialmente en la segunda temporada y a ratos en la tercera. Pero en su conjunto es una serie que premia tu fidelidad, y te hace vivir momentos realmente mágicos.

Una vez que te encariñas con los personajes necesitas saber cuáles serán sus destinos, y qué se esconderá en las pérfidas mentes de los guionistas que han tejido esta telaraña de emociones y situaciones rocambolescas.

Si no la han visto nunca, no lo duden. Cómprense los dvds y disfruten de una serie que ya ha entrado en la historia de la televisión. No obstante, el capítulo "The Constant" de la cuarta temporada ha sido elegido como el mejor capítulo de una serie en 2008 por la prestigiosa revista TIME, amén de múltiples premios recibidos a lo largo de los cuatro años que lleva emitiéndose.

The Show Must Go On

2008-12-20T12:37:00.003Z

Empty spaces, what are we living for
Abandoned places, I guess we know the score
On and on, does anybody know what we are looking for
Another hero, another mindless crime
Behind the curtain in the pantomime
Hold the line, does anybody want to take it anymore

The show must go on, The show must go on
Inside my heart is breaking
My make-up may be flaking, but my smile... still stays on

Whatever happens I'll leave it all to chance
Another heartache, another failed romance
On and on, does anybody know what we are living for
I guess I'm learning (I'm learning)
I must be warmer now
I'll soon be turning (turning, turning) round the corner now
Outside the dawn is breaking
But inside in the dark I'm aching to be free

The show must go on, the show must go on, yeah
Oooh, inside my heart is breaking
My make-up may be flaking, but my smile... still stays on
Yeah oh, oh, oh

My soul is painted like the wings of butterflies
Fairy tales of yesterday will grow but never die
I can fly, my friends

The show must go on, yeah yeah
The show must go on, go on, go on
I'll face it with a grin
I'm never giving in, on with the show

I'll top the bill, I'll overkill
I have to find the will to carry on
On with the, on with the show

The show must go on, go on, go on...

TRABAJO DE NAVIDAD para los Alumnos con la 1º Evaluación suspensa o con aprobado condicional.

2008-12-13T15:48:00.004Z

Bueno, pues aquí os dejo los ejercicios que teneis que hacer para poder optar a hacer los exámenes de recuperación que se realizarán los días 12 y 13 de Enero. Ya os especificaré en clase la fecha y la hora exacta.

Los ejercicios deberán ser entregados antes del examen, y deben estar presentados en folios en blanco, con los enunciados escritos y lo más ordenado y limpio posible.

Todos los ejercicios deben estar hechos a bolígrafo.

Para 3º ESO:

Pág 10: 5, 6, 7, 8
Pág 11: 10
Pág 12: 14
Pág 20 en adelante: 37, 39, 41, 43, 68, 69, 70

Pág 36 en adelante: 41, 43, 47, 49, 52, 66, 68, 79, 81

Pág 44: 5, 6
Pág 45: 7
Pág 49: 22
Pág 51: 24, 25

Pág 54 en adelante: 35, 47, 53, 54, 76

Pág 72 en adelante: 38, 39, 40, 48, 65, 73, 74.

...........................................................

Para 4º ESO:

Pág 20 en adelante: 33, 37, 38, 39, 40 ,41, 43, 44, 53, 54, 76

Pág 41 en adelante: 46, 47, 51, 52
Pág 44: Autoevaluación 5, 7

Pág 110: 27, 28, 29, 30, 31, 35, 38, 42, 46, 47, 56
Pág 114: Autoevaluación 5.

Mucho ánimo a todos. Si haceis entre dos y cuatro ejercicios cada día podréis entregarlo en la fecha señalada sin problemas. Felices fiestas.

A/A de Alumnos con las Matemáticas Pendientes de 2º ó 3º ESO

2008-12-13T15:32:00.003Z

Bueno, os pongo aquí el enlace a los archivos pdf de las actividades que teneis que hacer para recuperar la asignatura del curso anterior.

Id haciéndolas sin prisa, ya os diré la fecha en la que tendréis que entregármelas, pero no será hasta al menos mediados de Febrero.

Recordad que una vez pinchéis en el enlace, para bajar el archivo basta con hacer click en donde ponga Free User, y dar al botón Download.

Para los que estén en 3º y tengan pendiente la asignatura de 2º ESO:

RECUPERACIÓN 2º ESO

Para los que estén en 4º y tengan pendiente la asignatura de 3º ESO:

RECUPERACIÓN 3º ESO

¡Ánimo y a por el aprobado!

Soluciones Ejercicios Propuestos Tema 4 (3º ESO)

2008-12-04T17:03:00.001Z

Si no quereis pasar por conserjeria y pagar los 20 céntimos que os costaría comprar allí las fotocopias, teneis la posibilidad de descargaros aquí las soluciones de los ejercicios propuestos. Pero recordad: primero lo tenéis que intentar vosotros. En otro caso no os serviría de nada hacer estos ejercicios. Un saludo.

SOLUCIONES TEMA 4

3ºC: Una clase con mucho Arte (Actividad Tutoría)

2008-12-03T10:35:00.004Z

Bueno, chicos y chicas de 3ºC: He pensado que las paredes de nuestra clase están muy vacías, y les hace falta algún adorno. Y creo que la mejor manera de decorarla es a través de cuadros pintados por artistas del lienzo.

Yo he escogido 12 cuadros que me gustan, aunque hay muchísimos más que podeis encontrar por internet. Yo me ocuparé de imprimirlos y al menos una vez al mes iremos colocando vuestras sugerencias en las paredes de la clase.

La manera de participar en esta actividad es muy sencilla: simplemente responded a esta entrada y colocar en la respuesta el enlace al cuadro que queréis que imprima para colocarlo en la clase. No olvidad escribir el autor y el nombre del cuadro. También es preferible que el cuadro tenga una buena resolución, porque si no, no saldrá bien al imprimirlo. De todos modos, si no lo encontráis a buena resolución, si me poneis el nombre del cuadro y el autor yo me ocuparé de intentar buscarlo a mejor resolución.

Espero que os animéis y que esta actividad os sirva para valorar el arte de la pintura y todo lo que conlleva.

Las Noches de Boda de Sabina

2008-11-30T11:37:00.000Z

Que el maquillaje no apague tu risa,
que el equipaje no lastre tus alas,
que el calendario no venga con prisas,
que el diccionario detenga las balas.

Que las persianas corrijan la aurora,
que gane el quiero la guerra del puedo,
que los que esperan no cuenten las horas,
que los que matan se mueran de miedo.

Que el fin del mundo te pille bailando,
que el escenario te tiña las canas,
que nunca sepas ni cómo, ni cuándo,
ni ciento volando, ni ayer ni mañana.

Que el corazón no se pase de moda,
que los otoños te doren la piel,
que cada noche sea noche de bodas,
que no se ponga la luna de miel.
Que todas las noches sean noches de boda,
que todas las lunas sean lunas de miel.

Que las verdades no tengan complejos,
que las mentiras parezcan mentira,
que no te den la razón los espejos,
que te aproveche mirar lo que miras.

Que no se ocupe de ti el desamparo,
que cada cena sea tu última cena,
que ser valiente no salga tan caro,
que ser cobarde no valga la pena.

Que no te compren por menos de nada,
que no te vendan amor sin espinas,
que no te duerman con cuentos de hadas,
que no te cierren el bar de la esquina.

Que el corazón no se pase de moda,
que los otoños te doren la piel,
que cada noche sea noche de bodas,
que no se ponga la luna de miel.
Que todas las noches sean noches de boda,
que todas las lunas sean lunas de miel.

Expresiones Algebraicas. Monomios y Polinomios

2008-11-29T10:57:00.004Z

Aquí teneis unos enlaces para trabajar el tema. Aunque hay que tener en cuenta que en ellos encontraréis mayor información que la que os hace falta para superar este tema. Más adelante, en los siguientes temas, veremos más cosas que aparecen en estos enlaces.

Enlace 1

Enlace 2

Enlace 3

Recuerdo la fecha del examen del tema 4 para los de 3º ESO: 11 de Diciembre, Jueves.

Arwen y Aragorn

2008-11-23T11:47:00.006Z

Al día siguiente, a la hora del crepúsculo, Aragorn paseaba
solitario por los bosques, con el corazón alegre; y cantaba,
porque tenía muchas esperanzas, y porque el mundo era bello. Y
de pronto, mientras aún cantaba vio a una doncella que caminaba
por un prado entre los troncos blancos de los abedules; y se
detuvo maravillado, creyendo haberse extraviado en un sueño, o
que le había sido concedido el don de los músicos élficos, que
hacen aparecer ante los ojos de quienes escuchan las cosas que
cantan.
"Porque Aragorn iba cantando un fragmento de la Balada de
Lúthien, el que narra el encuentro de Lúthien y Beren en la
floresta de Neldoreth. Y he aquí que Lúthien caminaba ante sus
propios ojos en Rivendel, envuelta en un manto de plata y azur,
hermosa como el crepúsculo en el Hogar de los Elfos; los
cabellos oscuros le flotaban movidos por una brisa súbita, y una
diadema de gemas que parecían estrellas le ceñía la frente.
"Por un momento Aragorn la contempló en silencio, pero temiendo
que se desvaneciera para siempre, la llamó gritando:
‘¡Tinúviel, Tinúviel!', tal como Beren en los Días Antiguos.
"La doncella entonces se volvió, y sonrió, y dijo: '¿Quién eres?
¿Y por qué me llamas con ese nombre?'
"Y él respondió: 'Porque creí que eras en verdad Lúthien
Tinúviel, cuya balada venía cantando. Pero si no eres ella,
caminas como ella'.

" 'Muchos lo han dicho', respondió ella en tono grave. 'Sin
embargo no me llamo como ella, aunque acaso nuestros destinos
sean semejantes. ¿Pero tú, quién eres?'
" 'Estel me llamaban', respondió él, 'pero soy Aragorn, hijo de
Arathorn, Heredero de Isildur, Señor de los Dúnedain.' Sin
embargo, mientras lo decía, sentía que ese alto linaje, que
tanto le había regocijado el corazón, poco valor tenía ahora, y
no era nada comparado con la dignidad y la belleza de la joven.
"Pero ella rompió a reír, y dijo: 'Entonces somos parientes
lejanos. Porque yo soy Arwen, hija de Elrond, y también me llamo
Undómiel'.
" 'Suele ocurrir', dijo Aragorn, 'que en tiempos de peligro los
hombres oculten el tesoro más preciado. Pero Elrond y tus
hermanos me asombran; porque aunque he vivido en esta casa desde
mi niñez, nunca había oído hablar de ti. ¿Cómo es posible que no
nos hayamos encontrado antes? ¡Tu padre no te habrá guardado
bajo llave junto con sus tesoros!'
" 'No', dijo ella, y alzó los ojos hacia las Montañas que se
erguían al este. 'He vivido largo tiempo en la tierra de mi
madre, en la lejana Lothlórien. Y he venido hace poco, a visitar
nuevamente a mi padre. Hacía muchos años que no paseaba en
Imladris.'
"Aragorn se sorprendió, porque no parecía tener más edad que él,
que sólo había vivido una veintena de años en la Tierra Media.
Pero Arwen lo miró a los ojos y dijo: ‘¡No te asombres! Los
hijos de Elrond tenemos la vida de los Eldar'.
"Aragorn se turbó, porque vio en los ojos de Arwen la luz élfica
y la sabiduría de años incontables; pero desde aquel momento amó
a Arwen Undómiel, hija de Elrond.

Fragmento de los Apéndices de El Señor de los Anillos, J. R. R. Tolkien.

Problemas de Refuerzo para el tema de Proporcionalidad (3º ESO)

2008-11-22T17:37:00.004Z

Aquí más problemas sencillitos para aplicar la "Regla de Tres":

Enlace

Enlace 2

Or recuerdo que el examen es el jueves 27 de Noviembre. ¡¡Suerte!!

THE OFFICE :Obra Maestra del Humor.

2008-11-22T16:58:00.002Z

Miren que he tardado en echar cuenta a esta serie. Pero lo cierto es que la espera ha valido la pena, puesto que puedo disfrutar casi sin interrupción de cuatro temporadas completas de la misma. (En EEUU están con la quinta temporada estos días)

¿Qué es lo que podemos encontrar en The Office? Pues en primer lugar unos guiones absolutamente brillantes que no dan ni un segundo para aburrirnos (especialmente sublimes son los seis episodios que componen la primera temporada, una pequeña joya de nuestro tiempo)

Después nos encontramos con unos protagonistas tremendamente carismáticos, y con unos secundarios que capítulo a capítulo adquieren mayor dimensión.

El mayor peso humorístico de la serie recae en Michael Scott, el jefe de la oficina, un adulto con alma de niño y con vocación de humorista, y Dwight Schrute, el pelota supremo de la oficina, que desprecia totalmente a sus compañeros. Ambos forman una de las mejores parejas cómicas que he tenido la oportunidad de ver. A estos dos personajes se le añaden Jim y Pam y el resto de geniales secundarios que forman el equipo de la oficina para dar vida a tronchantes e hilarantes situaciones.

Personalmente, he visto las dos primeras temporadas este último mes, y sinceramente en muchos episodios he acabado llorando de la risa. Es un humor diferente, muy absurdo en ocasiones, pero que si conectas con él, te reportará risas continuadas.

Eso sí, por favor, jamás la veáis en español. El doblaje me parece tremendamente fallido. Las voces no pegan ni con cola, y la serie pierde el 50% de su gracia. Además, la sexta, que es el canal en el que la ponen, ha decidido emitirla en formato recortado, lo cual ya de por sí es bastante molesto.

En fin, espero que le deis una oportunidad. That's what she said.

RADICALES (3º y 4º ESO)

2008-10-31T18:29:00.004Z

En estas páginas teneis ejercicios de radicales por si quereis seguir practicando:

página 1

página 2 (pdf)

página 3 (pdf)

Ah, y feliz noche de Halloween!!!

El Hombre de Vitruvio

2008-10-24T18:23:00.004+01:00

En clase os comenté algo sobre este dibujo de Leonardo da Vinci. Aquí os paso más información:

El Hombre de Vitruvio es un famoso dibujo acompañado de notas anatómicas de Leonardo da Vinci realizado alrededor del año 1492 en uno de sus diarios. Representa una figura masculina desnuda en dos posiciones sobreimpresas de brazos y piernas e inscrita en un círculo y un cuadrado. Se trata de un estudio de las proporciones del cuerpo humano, realizado a partir de los textos de arquitectura de Vitruvio, arquitecto de la antigua Roma, del cual el dibujo toma su nombre.

También se conoce como el Canon de las proporciones humanas.

El dibujo está realizado en lápiz y tinta y mide 34,2 x 24,5 cm. En la actualidad forma parte de la colección de la Galería de la Academia de Venecia.

El cuadrado está centrado en los genitales, y el círculo en el ombligo. La relación entre el lado del cuadrado y el radio del círculo es la razón áurea. Para Vitruvio el cuerpo humano está dividido en dos mitades por los órganos sexuales, mientras que el ombligo determina la sección áurea. En el recién nacido, el ombligo ocupa una posición media y con el crecimiento migra hasta su posición definitiva en el adulto.

De acuerdo con las notas del propio Leonardo en el Hombre de Vitruvio se dan otras relaciones:

* Una palma equivale al ancho de cuatro dedos.
* Un pie equivale al ancho de cuatro palmas (12 inch).
* Un antebrazo equivale al ancho de seis palmas.
* La altura de un hombre son cuatro antebrazos (24 palmas).
* Un paso es igual a un antebrazo.
* La longitud de los brazos extendidos (envergadura) de un hombre es igual a su altura.
* La distancia entre el nacimiento del pelo y la barbilla es un décimo de la altura de un hombre.
* La altura de la cabeza hasta la barbilla es un octavo de la altura de un hombre.
* La distancia entre el nacimiento del pelo a la parte superior del pecho es un séptimo de la altura de un hombre.
* La altura de la cabeza hasta el final de las costillas es un cuarto de la altura de un hombre.
* La anchura máxima de los hombros es un cuarto de la altura de un hombre.
* La distancia del codo al extremo de la mano es un quinto de la altura de un hombre.
* La distancia del codo a la axila es un octavo de la altura de un hombre.
* La longitud de la mano es un décimo de la altura de un hombre.
* La distancia de la barbilla a la nariz es un tercio de la longitud de la cara.
* La distancia entre el nacimiento del pelo y las cejas es un tercio de la longitud de la cara.
* La altura de la oreja es un tercio de la longitud de la cara.
* La distancia desde la planta del pie hasta debajo de la rodilla es la cuarta parte del hombre.
* La distancia desde debajo de la rodilla hasta el inicio de los genitales es la cuarta parte del hombre.
* El inicio de los genitales marca la mitad de la altura del hombre..

El redescubrimiento de las proporciones matemáticas del cuerpo humano en el siglo XV por Leonardo y otros autores, está considerado uno de los grandes logros del Renacimiento.

El dibujo también es a menudo considerado como un símbolo de la simetría básica del cuerpo humano y, por extensión, del universo en su conjunto.

Examinando el dibujo puede notarse que la combinación de las posiciones de los brazos y piernas crea realmente dieciséis posiciones distintas. La posición con los brazos en cruz y los pies juntos se ve inscrita en el cuadrado sobreimpreso. Por otra parte, la posición superior de los brazos y las dos de las piernas se ve inscrita en el círculo sobreimpreso. Esto ilustra el principio de que en el cambio entre las dos posiciones, el centro aparente de la figura parece moverse, pero en realidad el ombligo de la figura, que es el centro de gravedad verdadero, permanece inmóvil.

Este dibujo aparece en el reverso de la moneda de euro de Italia.

Fuente: Wikipedia.

Y por último, os presento una versión alternativa del dibujo:

PI

2008-10-18T18:31:00.002+01:00

... y muuuuchos más

Recordando a Poe en una Gris tarde de Sábado

2008-10-18T18:10:00.004+01:00

EL CUERVO

Una vez, al filo de una lúgubre media noche,
mientras débil y cansado, en tristes reflexiones embebido,
inclinado sobre un viejo y raro libro de olvidada ciencia,
cabeceando, casi dormido,
oyóse de súbito un leve golpe,
como si suavemente tocaran,
tocaran a la puerta de mi cuarto.
“Es —dije musitando— un visitante
tocando quedo a la puerta de mi cuarto.
Eso es todo, y nada más.”

¡Ah! aquel lúcido recuerdo
de un gélido diciembre;
espectros de brasas moribundas
reflejadas en el suelo;
angustia del deseo del nuevo día;
en vano encareciendo a mis libros
dieran tregua a mi dolor.
Dolor por la pérdida de Leonora, la única,
virgen radiante, Leonora por los ángeles llamada.
Aquí ya sin nombre, para siempre.

Y el crujir triste, vago, escalofriante
de la seda de las cortinas rojas
llenábame de fantásticos terrores
jamás antes sentidos. Y ahora aquí, en pie,
acallando el latido de mi corazón,
vuelvo a repetir:
“Es un visitante a la puerta de mi cuarto
queriendo entrar. Algún visitante
que a deshora a mi cuarto quiere entrar.
Eso es todo, y nada más.”

Ahora, mi ánimo cobraba bríos,
y ya sin titubeos:
“Señor —dije— o señora, en verdad vuestro perdón
imploro,
mas el caso es que, adormilado
cuando vinisteis a tocar quedamente,
tan quedo vinisteis a llamar,
a llamar a la puerta de mi cuarto,
que apenas pude creer que os oía.”
Y entonces abrí de par en par la puerta:
Oscuridad, y nada más.

Escrutando hondo en aquella negrura
permanecí largo rato, atónito, temeroso,
dudando, soñando sueños que ningún mortal
se haya atrevido jamás a soñar.
Mas en el silencio insondable la quietud callaba,
y la única palabra ahí proferida
era el balbuceo de un nombre: “¿Leonora?”
Lo pronuncié en un susurro, y el eco
lo devolvió en un murmullo: “¡Leonora!”
Apenas esto fue, y nada más.

Vuelto a mi cuarto, mi alma toda,
toda mi alma abrasándose dentro de mí,
no tardé en oír de nuevo tocar con mayor fuerza.
“Ciertamente —me dije—, ciertamente
algo sucede en la reja de mi ventana.
Dejad, pues, que vea lo que sucede allí,
y así penetrar pueda en el misterio.
Dejad que a mi corazón llegue un momento el silencio,
y así penetrar pueda en el misterio.”
¡Es el viento, y nada más!

De un golpe abrí la puerta,
y con suave batir de alas, entró
un majestuoso cuervo
de los santos días idos.
Sin asomos de reverencia,
ni un instante quedo;
y con aires de gran señor o de gran dama
fue a posarse en el busto de Palas,
sobre el dintel de mi puerta.
Posado, inmóvil, y nada más.

Entonces, este pájaro de ébano
cambió mis tristes fantasías en una sonrisa
con el grave y severo decoro
del aspecto de que se revestía.
“Aun con tu cresta cercenada y mocha —le dije—,
no serás un cobarde,
hórrido cuervo vetusto y amenazador.
Evadido de la ribera nocturna.
¡Dime cuál es tu nombre en la ribera de la Noche Plutónica!”
Y el Cuervo dijo: “Nunca más.”

Cuánto me asombró que pájaro tan desgarbado
pudiera hablar tan claramente;
aunque poco significaba su respuesta.
Poco pertinente era. Pues no podemos
sino concordar en que ningún ser humano
ha sido antes bendecido con la visión de un pájaro
posado sobre el dintel de su puerta,
pájaro o bestia, posado en el busto esculpido
de Palas en el dintel de su puerta
con semejante nombre: “Nunca más.”

Mas el Cuervo, posado solitario en el sereno busto.
las palabras pronunció, como virtiendo
su alma sólo en esas palabras.
Nada más dijo entonces;
no movió ni una pluma.
Y entonces yo me dije, apenas murmurando:
“Otros amigos se han ido antes;
mañana él también me dejará,
como me abandonaron mis esperanzas.”
Y entonces dijo el pájaro: “Nunca más.”

Sobrecogido al romper el silencio
tan idóneas palabras,
“sin duda —pensé—, sin duda lo que dice
es todo lo que sabe, su solo repertorio, aprendido
de un amo infortunado a quien desastre impío
persiguió, acosó sin dar tregua
hasta que su cantinela sólo tuvo un sentido,
hasta que las endechas de su esperanza
llevaron sólo esa carga melancólica
de ‘Nunca, nunca más’.”

Mas el Cuervo arrancó todavía
de mis tristes fantasías una sonrisa;
acerqué un mullido asiento
frente al pájaro, el busto y la puerta;
y entonces, hundiéndome en el terciopelo,
empecé a enlazar una fantasía con otra,
pensando en lo que este ominoso pájaro de antaño,
lo que este torvo, desgarbado, hórrido,
flaco y ominoso pájaro de antaño
quería decir granzando: “Nunca más.”

En esto cavilaba, sentado, sin pronunciar palabra,
frente al ave cuyos ojos, como-tizones encendidos,
quemaban hasta el fondo de mi pecho.
Esto y más, sentado, adivinaba,
con la cabeza reclinada
en el aterciopelado forro del cojín
acariciado por la luz de la lámpara;
en el forro de terciopelo violeta
acariciado por la luz de la lámpara
¡que ella no oprimiría, ¡ay!, nunca más!

Entonces me pareció que el aire
se tornaba más denso, perfumado
por invisible incensario mecido por serafines
cuyas pisadas tintineaban en el piso alfombrado.
“¡Miserable —dije—, tu Dios te ha concedido,
por estos ángeles te ha otorgado una tregua,
tregua de nepente de tus recuerdos de Leonora!
¡Apura, oh, apura este dulce nepente
y olvida a tu ausente Leonora!”
Y el Cuervo dijo: “Nunca más.”

“¡Profeta!” —exclamé—, ¡cosa diabolica!
¡Profeta, sí, seas pájaro o demonio
enviado por el Tentador, o arrojado
por la tempestad a este refugio desolado e impávido,
a esta desértica tierra encantada,
a este hogar hechizado por el horror!
Profeta, dime, en verdad te lo imploro,
¿hay, dime, hay bálsamo en Galaad?
¡Dime, dime, te imploro!”
Y el cuervo dijo: “Nunca más.”

“¡Profeta! —exclamé—, ¡cosa diabólica!
¡Profeta, sí, seas pájaro o demonio!
¡Por ese cielo que se curva sobre nuestras cabezas,
ese Dios que adoramos tú y yo,
dile a esta alma abrumada de penas si en el remoto Edén
tendrá en sus brazos a una santa doncella
llamada por los ángeles Leonora,
tendrá en sus brazos a una rara y radiante virgen
llamada por los ángeles Leonora!”
Y el cuervo dijo: “Nunca más.”

“¡Sea esa palabra nuestra señal de partida
pájaro o espíritu maligno! —le grité presuntuoso.
¡Vuelve a la tempestad, a la ribera de la Noche Plutónica.
No dejes pluma negra alguna, prenda de la mentira
que profirió tu espíritu!
Deja mi soledad intacta.
Abandona el busto del dintel de mi puerta.
Aparta tu pico de mi corazón
y tu figura del dintel de mi puerta.
Y el Cuervo dijo: “Nunca más.”

Y el Cuervo nunca emprendió el vuelo.
Aún sigue posado, aún sigue posado
en el pálido busto de Palas.
en el dintel de la puerta de mi cuarto.
Y sus ojos tienen la apariencia
de los de un demonio que está soñando.
Y la luz de la lámpara que sobre él se derrama
tiende en el suelo su sombra. Y mi alma,
del fondo de esa sombra que flota sobre el suelo,
no podrá liberarse. ¡Nunca más!

Soluciones Ejercicios Tema 1 (3º ESO)

2008-10-14T17:09:00.002+01:00

Como no nos dará tiempo de corregir todos en clase, os cuelgo en este post la solución a los ejercicios que mandé sobre el tema de Números Racionales:

SOLUCIONES TEMA 1: Números Racionales.

Páginas 20 y 21 del libro:

34.- a) 1/6 b) 9/14

35.- a) x = 135
b) x = 17
c) x = 402
d) x = 450

36.- a=39 b= 56 c=117 d=7

37.- a) 11/4, b) 19/30, c) 10/3, d) -5/2, e) 20/21, f) 1/16

38.- a) 4/5, b) 17/6

39.- a) 1/9, 1/8, 1/7
b) ¾, 4/5, 6/7
c) -3/9, 6/5, 9/7

40.- a) 1/5, b) 2/3, c) 13/21, d) 6

41.- a) 19/5, b) 1/6, c) 77/60, d) -127/30

42.- 13/60

43.- 14/42 = 2/6

46.- a) 412/9, b) 122/99, c) 154/45, d) 59/110

58.- 5/12

60.- a) 5/28, b) 1/10, c) 1/7, d) 1/1440, e) 1/1200, f) 1/100000

63.- V F V F F

Los Primos de Mersenne

2008-10-04T18:12:00.006+01:00

En este post no voy a hablar claro está de los hijos de los tíos del filósofo Mersenne (chiste malo, ya lo sé, lo siento mucho XD) sino de los números primos que llevan su nombre.

Se le llama primo de Mersenne a un número primo de la forma 2^n - 1.

Muchos autores antiguos pensaron que los números de la forma 2^n - 1 eran primos para todos los n primos, pero en 1536 Hudalricus Regius demostró que 2^11 - 1 = 2047 no era primo (es igual a 23x89).
Posteriormente se verificó que 2^n - 1 era primo para n = 17, 19 y 31, y que no era primo para n = 23, 29 y 37.

A fecha de hoy, sólo se conocen 46 números primos de Mersenne, siendo el mayor de ellos 2^43.112.609−1, un número de casi trece millones de cifras. El número primo más grande que se conocía en una fecha dada casi siempre ha sido un número primo de Mersenne: desde que empezó la era electrónica en 1951 siempre ha sido así salvo en 1951 y entre 1989 y 1992.

No se sabe si existen infinitos primos de Mersenne.

En vuestra wikipedia más cercana, teneis los 46 números primos de Mersenne conocidos hasta la fecha (en los últimos por motivos de espacio sólo aparecen las primeras y las últimas cifras):

http://es.wikipedia.org/wiki/Número_primo_de_Mersenne

Y en este enlace podeis encontrar el primo de Mersenne más grande conocido hasta la fecha. Una cosa: si no teneis un ordenador suficientemente potente ni intenteis abrirlo. El número es gigantesco y os va a tardar un rato largo en cargar. Eso sí, si lo abrís probablemente veais el número más monstruosamente grande que hayais visto jamás.

Último primo de Mersenne conocido

Un video sobre sumas y potencias de fracciones

2008-10-03T19:29:00.003+01:00

Aquí teneis un video en el que un señor os explica cómo realizar unas operaciones combinadas con fracciones.

A veces el hombre patina un poquillo, como cuando explica por qué un número elevado a -1, es 1 partido de dicho número: "porque alguien lo dijo así" XD . Realmente el motivo es que si una potencia con exponente positivo expresa una multiplicación, lo lógico es que una potencia con exponente negativo exprese una división :P

De todos modos, a pesar de algunos momentos un poco humorísticos (genial el momento "esto se hace en un papel aparte que no hay ninguna ley que prohiba hacer las cosas en un papelito aparte") os puede servir para repasar cómo se hace este tipo de ejercicios, que nunca está de más. Y la verdad es que el hombre explica las operaciones muy muy bien.(Aunque no se dé cuenta de que al final, la fracción resultante se puede simplificar claramente entre 3, ¿lo veis?)

Qué leer: Canción de Hielo y Fuego

2008-10-03T18:23:00.005+01:00

Estos días estoy dedicando parte de mis tardes en la lectura del tercer libro de la saga de Canción de Hielo y Fuego. Su título es Tormenta de Espadas y ciertamente estoy disfrutando bastante de su lectura. Es por eso que me he animado a recomendar desde este blog esta saga de George R.R. Martin.

La acción transcurre en Invernalia, un país en el que los inviernos y los veranos se prolongan durante meses, e incluso años. El primer libro nos coloca al final de un verano que va a dar lugar a un invierno crudo y largo. La saga nos presenta a un sinfín de familas protagonistas a cual más interesante: La familia Stark con su hijo bastardo Jon Nieve, los Lannister con uno de los mejores personajes que he tenido el placer de leer: Tyrion Lannister, los Baratheon, Greyjoy, Tully, los dragones Targaryen... todos envueltos en una trama de intrigas palaciegas de proporciones épicas.

Es un libro en el que los personajes sufren, aman y odian, son extremadamente reales, algo extraño en este tipo de literatura, digamos, fantástica. Pero ojo, no vayan a encariñarse mucho con alguno de ellos, puesto que el autor es capaz de sacrificar a tu personaje preferido sin pestañear.

Si les ha picado el gusanillo no lo duden, háganse con el primer título de la saga: Juego de Tronos, y luego me cuentan.

Más ejercicios de Fracciones (3º y 4º ESO)

2008-10-03T18:02:00.005+01:00

Por si teneis pocos con los ejercicios que hacemos en clase, aquí os dejo unos enlaces donde podeis seguir sumando, restando, multiplicando y haciendo problemas de fracciones, que yo sé que en el fondo os mola cantidad:

http://www.vadenumeros.es/tercero/problemas-con-fracciones.htm

http://covadongcr.googlepages.com/

Tambien os paso la página con la unidad didáctica sobre fracciones que propone el programa Descartes, que es muy interesante y entretenida puesto que podeis trabajar con ella directamente desde el ordenador:

UNIDAD DIDACTICA FRACCIONES BY DESCARTES (operaciones con fracciones)
UNIDAD DIDACTICA FRACCIONES BY DESCARTES (representación en la recta)

PD: Si quereis saber más sobre el hombre que da nombre al teorema de Thales, teneis información en este mismo blog:

Magia y Personalidad de los números (3º y 4º ESO)

2008-09-28T11:58:00.003+01:00

Cuelgo el enlace a un archivo pdf bastante interesante en el que podéis encontrar mucha información acerca de las curiosas y fascinantes propiedades de los números enteros. Este texto os servirá como un complemento perfecto al primer tema que estamos dando en clase, el tema de los números racionales, puesto que en dicho tema apenas se habla de los números enteros y naturales.

Magia y Personalidad de los números

El Rincón del alumno.

2008-09-28T11:51:00.002+01:00

Hoy estreno una nueva sección en el blog. En esta sección intentaré ir colocando periódicamente material complementario para que los alumnos que estén interesados puedan completar su formación con los documentos que se encontrarán aquí.

Por supuesto, aparte de esta sección, los alumnos pueden navegar por el resto del blog, especialmente en la sección matemáticas, donde pueden encontrar mucha información interesante.

Cualquier duda que tengan pueden consultármela en clase o directamente escribiendo un comentario en la entrada correspondiente. Intentaré contestarla en cuanto me sea posible.

Un saludo.

Matemáticas y Literatura

2008-07-23T21:27:00.005+01:00

Este año he tenido la oportunidad de leer algunos libros que consiguen relacionar algo en apariencia tan dispar como son la literatura y las matemáticas.

He encontrado una web en la que se recomiendan varios libros de este tipo, que pienso que pueden suponer un estímulo para el estudio si usted, la persona que me lee, es estudiante, o una ayuda en su profesión si usted que me lee se dedica a la docencia. También puede resultar interesante para aquellas personas ajenas al mundo de la enseñanza.

Sin más les presento la página. Espero que hagan buen uso de ella:

http://personal.telefonica.terra.es/web/ies4hellin/matematicas/LecturasRecomendadas.htm

WATCHMEN: La película.

2008-07-23T21:19:00.004+01:00

Si no recuerdan mal ustedes, hace tiempo que escribí un pequeño artículo sobre un cómic llamado Watchmen. Aunque mejor dicho yo lo llamaría EL comic. Posiblemente el mejor de todos los tiempos. Pues los que aún estén reticentes a leerlo quizás cambien de idea tras ver el trailer de lo que será la película allá por el 2009. Las imágenes son clavadas a las viñetas de la obra maestra de Alan Moore, y por supuesto ando loquito por ver y disfrutar esta película en el cine. Aún falta tiempo, pero aquí tienen un adelanto, gentileza de youtube:

Épico Nadal.

2008-07-07T12:29:00.003+01:00

6 de Julio de 2008. Rafael Nadal gana su primer Wimbledon tras 4 horas y 48 minutos de juego en la final más larga y más emocionante de la historia del torneo londinense.

Leyendo los periodios sobre el partido de ayer, todavia me sigo emocionando. Porque es que la final fue tan épica que parece de ciencia-ficción.

Hoy mucha gente quiere poner a Nadal como número uno, pero qué quereis que os diga, yo disfruto más así, cuando eres capaz de ganarle al número uno.

Porque cuando ya eres el uno, parece que tienes la "obligación" de ganar. No dudo de que Rafa se lo merece y lo pueda ser en un futuro, (y ojalá sea así, y por muchos años) pero yo creo que entonces sus victorias no serán tan épicas.

Me encanta eso que dicen que Federer es el dios del tenis, que es el mejor jugador de la historia. Y tienen mucha razón. Es un superclase, un deportista de élite, un campeón. Por eso disfruto cuando llega este pequeño gladiador de 22 años y consigue ganarle. Es como la lucha entre un Hércules contra un autentico dios del Olimpo. Y me encanta que Hércules gane. Es el triunfo del coraje y de la fe. Un ejemplo para todos.

CAMPEONES

2008-06-29T23:22:00.004+01:00

Luis, Iker, Sergio, Carles, Xavi, Andrés, Fernando, David, etc, etc...

Gracias a todos.

España Campeona Euro 2008. 29 de Junio, Viena.

Goldbach: Una Interesante Conjetura.

2008-03-29T22:49:00.003Z

Nacido: 18 de Marzo de 1690 en Köningsberg, Prusia (en la actualidad Kaliningrado, Rusia).
Fallecido: 20 de Noviembre 1764 en Moscú, Rusia.

En 1725, Christian Goldbach, se convirtió en historiador y profesor de matemáticas en San Petersburgo. Unos años después, en 1728, se dirigió a Moscú en calidad de tutor del Zar Peter II. Viajó a través de Europa, manteniendo diversos contactos con matemáticos en su gira. Cabe destacar, entre dichos encuentros, los que sostuvo con Leibniz, de Moivre y varios matemáticos de la familia Bernoulli, a saber, Nicolaus (I), Nicolaus (II), Daniel y Hermann.

La conjetura de Goldbach es uno de los problemas abiertos más antiguos en matemáticas. Su enunciado es el siguiente:

Todo número par mayor que 2 puede escribirse como suma de dos números primos.

(Se puede emplear dos veces el mismo número primo)

Por ejemplo,

4 = 2 + 2

18 = 5 + 13

26 = 3 + 23

etc, etc...

Esta conjetura ha sido investigada por muchos teóricos de números y ha sido comprobada por ordenadores para todos los números pares menores que 2×1016. La mayor parte de los matemáticos cree que la conjetura es cierta, y se basan mayormente en las consideraciones estadísticas sobre la distribución probabilística de los números primos en el conjunto de los números naturales: cuanto mayor sea el número entero par, se hace más "probable" que pueda ser escrito como suma de dos números primos.

Sabemos que todo número par puede escribirse como suma de a lo más seis números primos. Como consecuencia de un trabajo de Vinogradov, todo número par lo bastante grande puede escribirse como suma de a lo más cuatro números primos. Además, Vinogradov demostró que casi todos los números pares pueden escribirse como suma de dos números primos (en el sentido de que la proporción de números pares que pueden escribirse de dicha forma tiende a 1). En 1966, Chen Jing-run mostró que todo número par lo bastante grande puede escribirse como suma de un primo y un número que tiene a lo más dos factores primos.

Con el fin de generar publicidad para el libro El tío Petros y la conjetura de Goldbach de Apostolos Doxiadis, el editor británico Tony Faber ofreció en 2000 un premio de un millón de dólares a aquel angloparlante que demostrase la conjetura antes de abril de 2002. Nadie reclamó el premio.

Fuentes:

http://matelatex.blogcindario.com

http://es.wikipedia.org/wiki/Christian_Goldbach

Fibonacci y sus conejos.

2008-01-20T19:06:00.000Z

Leonardo de Pisa o Leonardo Pisano o Leonardo Bigollo (c. 1170 - 1250), también llamado Fibonacci, fue un matemático italiano, famoso por la invención de la sucesión de Fibonacci, surgida como consecuencia del estudio del crecimiento de las poblaciones de conejos, y por su papel en la popularización del sistema de numeración posicional en base 10 (o decimal) en Europa.

El apodo del padre de Leonardo, era Bonacci (simple o bien intencionado). Leonardo recibió póstumamente el apodo de Fibonacci ( por filius Bonacci, hijo de Bonacci). Guiglielmo dirigía un puesto de comercio en Bugía (según algunas versiones era el cónsul de Pisa), en el norte de África (hoy Bejaia, Argelia), y de niño Leonardo viajo allí para ayudarlo. Allí aprendió el sistema de numeración árabe.

Consciente de la superioridad de los numerales árabes, Fibonacci viajó a través de los países del Mediterráneo para estudiar con los matemáticos árabes más destacados de ese tiempo, regresando cerca de 1200. En 1202, a los 32 años de edad, publicó lo que había aprendido en el Liber Abaci (libro del ábaco o libro de los cálculos). Este libro mostró la importancia del nuevo sistema de numeración aplicándolo a la contabilidad comercial, conversión de pesos y medidas, cálculo, intereses, cambio de moneda, y otras numerosas aplicaciones. En estas páginas describe el cero, la numeración de posición, la descomposición en factores primos, los criterios de divisibilidad. El libro fue recibido con entusiasmo en la Europa ilustrada, y tuvo un impacto profundo en el pensamiento matemático europeo.

Respecto a la famosa serie que lleva su nombre, y que ya hemos mencionada más arriba podemos basarnos en la siguiente idea para explicarla:

Supongamos que tenemos dos conejos pequeños, macho y hembra. Partimos de las siguientes premisas:

1. Los conejos alcanzan la madurez sexual a la edad de un mes.
2. En cuanto alcanzan la madurez sexual los conejos se aparean y siempre resulta preñada la hembra.
3. El periodo de gestación de los conejos es de un mes.
4. Los conejos no mueren.
5. La hembra siempre da a luz una pareja de conejos de sexos opuestos.
6. Los conejos tienen una moral y un instinto de variedad genética muy relajados y se aparean entre parientes.

El proceso de crecimiento de la población de conejos está claramente descrito en la siguiente ilustración:

Como se puede observar, la serie de Fibonacci contará cuántas parejas de conejos hay cada mes. De manera que tendremos los siguientes términos:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ...

Es fácil constatar que cada término, a partir del tercero, se obtiene como la suma de los dos términos inmediatamente anteriores.

Esta serie de números presenta una gran curiosidad encerrada en ella, y es que si calculáramos el límite de la sucesión formada por el cociente de un término de la sucesión partido del término anterior, (es decir: 1/1, 2/1, 3/2, 5/3, 8/5, 13/8, ...)es exactamente el número de oro, la razón áurea de la que ya hemos hablado con anterioridad en este blog. Una de las múltiples curiosidades matemáticas que tan interesantes y apasionantes hacen a esta materia.

Para fuentes y ampliación de información, visiten:

http://www.interactiva.matem.unam.mx/aurea/html/conejos.html
http://es.wikipedia.org/wiki/Sucesi%C3%B3n_de_Fibonacci
http://www.formacion.cnice.mec.es/web_espiral/naturaleza/vegetal/fibonacci/fibonacci.htm

Fermat y su Ultimo Teorema.

2008-01-04T12:31:00.000Z

(Beaumont-de-Lomagne, Francia, 17 de agosto de 1601 - Castres, Francia, 12 de enero de 1665), Pierre de Fermat fue un jurista y destacado matemático. Fue abogado en el Parlamento de Toulouse, en el sur de Francia, y matemático clave para el desarrollo del cálculo moderno. También hizo notables contribuciones a la geometría analítica.

Fermat es mejor conocido por su Enigma, una abstracción del Teorema de Pitágoras, también conocido como Último Teorema de Fermat, que torturó a los matemáticos durante aproximadamente 350 años, hasta que fue resuelto en 1995. Junto con René Descartes, Fermat fue uno de los líderes matemáticos de la primera mitad del siglo XVII. Independientemente de Descartes, descubrió el principio fundamental de la geometría analítica. A través de su correspondencia con Blaise Pascal, fue co-fundador de la teoría de probabilidades.

Fermat nació el 17 de agosto de 1601 en Beaumont-de-Lomagne, una ciudad situada a 58 kilómetros al noroeste de Toulouse, Francia. La mansión del siglo XV donde nació es en la actualidad un museo. La escuela más antigua y prestigiosa de Toulouse se llama Pierre de Fermat y en ella se imparten clases de ingeniería y comercio. Está situada entre las diez mejores de Francia para clases preparatorias.

El Último Teorema de Fermat afirma que la ecuación

no tiene soluciones enteras para n>2. Fermat afirma que tenía una demostración, pero se exime de darla argumentado que el márgen es demasiado estrecho como para dárnosla.

Obviamente, la ecuación presenta soluciones para n=1 y para n=2 (como por ejemplo, tomando x = 3, y = 4, z = 5).

Si quieren saber más sobre la demostración de la no existencia de soluciones enteras para n>2 les recomiendo los siguientes enlaces:

http://www.ciencia.cl/CienciaAlDia/volumen2/numero1/articulos/articulo1.html

http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Fermat's_last_theorem.html

Yo la pondría aquí, de hecho he descubierto una demostración maravillosa de esta afirmación. Pero este post es demasiado angosto para contenerla.

Fuentes:

http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%9Altimo_teorema_de_Fermat
http://www.mat.usach.cl/histmat/html/ferm.html

2007 en cines

2007-12-30T15:10:00.000Z

Bueno, pues a falta de un día para acabar este año, me gustaría recopilar por aquí las películas que he tenido la suerte (o la desgracia) de ver en una butaca de cine. Se las pongo en una lista con unas frasecillas describiéndolas:

EL PRESTIGIO : A esto se le llama empezar bien el año. Peliculón que nos trajo el señor Nolan con una actuación sobresaliente de Christian Bale. Muy recomendable.

EL MOTORISTA FANTASMA : Una de las peores películas basadas en un cómic que se puedan encontrar. Si se la cruzan en un videoclub huyan de ella.

EL BUEN ALEMÁN: Película bastante aburrida que pretendía parecerse a los grandes clásicos sin conseguirlo.

UN PUENTE HACIA TERABITHIA: No está mal para verla en una tarde aburrida de domingo. Tiene un final bastante sorprendente y emotivo.

300: La mejor película del año, al menos la más rompedora e impactante. No me canso de verla, un ejemplo de cómo trasladar un cómic a la gran pantalla.

LA VIDA DE LOS OTROS: Emotiva película que ganó el oscar a la mejor película extranjera este año. Recomendable, aunque a veces se hace algo pesadita.

LA FUENTE DE LA VIDA: Una rayada sin mucho interés. Esta vez Aronofsky no me convenció.

SPIDERMAN 3: Un excelente entretenimiento, que aunque flojea en su parte final cierra la trilogía de modo más que digno.

PIRATAS DEL CARIBE: EN EL FIN DEL MUNDO: He visto la peli ya unas cuantas veces, y depende del momento se me hace más llevadera o más pesada. Digamos que no está mal, pero que le sobra bastante metraje.

INLAND EMPIRE: Qué decir, ya hice una reseña de ella nada más verla. Sólo para mentes abiertas dispuestas a sumergirse en el particular y peculiar mundo de David Lynch.

ZODIAC: Una de las sorpresas del año; película sobresaliente del director de Seven y el Club de la Lucha. Muy recomendable.

SHREK TERCERO: La peor de la saga con diferencia; un auténtico despropósito con un final lamentable.

TRANSFORMERS: Otra agradable sorpresa, el infame director Michael Bay nos ofrece un producto de calidad, con muchos toques Spielbergianos (no en vano es el productor de la película) y en el que sobresale un chaval que seguramente nos dará muchas alegrías interpretativas en el futuro - acompañará a Harrison Ford en su nueva aventura en 2008: Shia LaBeouf

HARRY POTTER Y LA ORDEN DEL FÉNIX: Una de las mejores de la saga hasta el momento. Después de la terrible Harry Potter y el Cáliz de Fuego, las aventuras del mago vuelven a suscitar mi interés, y espero con ganas la nueva entrega.

LOS SIMPSON: LA PELÍCULA: Pequeña decepción. Es obvio que era imposible que la película alcanzara el nivel de la serie en sus mejores tiempos, pero uno siempre espera con ilusión algo grande de esta gente. De todos modos, no está mal y seguro que si la ven se echan unas buenas risas.

RATATOUILLE: La elegancia hecha película; Brad Bird nos brinda una nueva obra maestra del cine de animación. Junto con 300, lo mejor del año.

PLANET TERROR: La mejor peli para ver una noche de juerga con los colegas. Una gamberrada que, aunque no supera a Abierto hasta el Amanecer estoy seguro de que gustará a todos los que disfrutaron viendo a George Clooney matar vampiros en la Teta Enroscada.

STARDUST: Otra muy agradable sorpresa. Desde los tiempos de la Princesa Prometida o Dentro del Laberinto no tenia la sensación de estar viviendo en un cuento de hadas con brujas y seres extraordinarios. Y Michelle Pfeiffer está impresionante en su papel. Muy recomendable.

RESIDENT EVIL 3: Una película carente de interés. Simplemente mala.

REC: Supongo que gustará sobre todo a las nuevas generaciones que estén empezando a descubrir el cine de terror. Los más viejos del lugar ya hemos visto miles de veces los sustos que nos presenta esta película, que más que película se diría que es una atracción de feria tipo "la casa del terror".

Y bueno, pues esto es lo que hay. Espero que el año que viene el cine nos traiga cosas mejores, porque este año salvo dos o tres excepciones, ha sido bastante mediocre.

Mis más esperadas a fecha de hoy son Indiana Jones 4 y The Dark Knight. Espero que no me decepcionen.

Colossus (un poquito de publicidad, si me permiten)

2007-12-30T12:00:00.000Z

Bueno, les quiero presentar una nueva banda nacida en el Reino Unido, que, aunque todavía no tiene ningún disco en la calle creo que está llamada a hacer grandes cosas en un futuro no muy lejano. La componen tres chavales (dos ingleses y un español - portuense para más señas) que están poniendo en ella toda su ilusión y energía. En su página de myspace pueden encontrar varias de sus canciones. Espero que les guste y que le den una oportunidad:

Visita Colossus the Band

Dos chicos y una moto, de Pérez Reverte

2007-12-30T11:47:00.000Z

Me encanta Pérez Reverte. Bueno, mejor dicho me encanta cómo escribe, cómo es capaz de atrapar tu atención y conseguir emocionarte, o divertirte, o ponerte de mala leche. Cosas de las que sólo son capaces los grandes escritores, y en este caso creo que estamos ante uno de ellos. Todos los domingos me leo su columna en el XlSemanal mientras me tomo mi café matutino, y es sin duda, uno de los mejores momentos de la semana. El de esta semana me ha gustado especialmente, un canto a la juventud, y recomiendo a todos mis alumnos que lo lean. Os lo copio aquí, y ya sabeis, si no podeis tener acceso a la revista, en esta página podeis encontrar todos los artículos de este pedazo de escritor.

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Es de noche y llueve desde hace unos minutos sobre la sinuosa carretera de Madrid al Escorial. Clap, clap, clap, hacen los limpiaparabrisas mientras conduzco con precaución. Es sábado por la noche, el tráfico de subida hacia la sierra es intenso, y las gotas de agua y el asfalto mojado reflejan destellos de faros. Al salir de una curva, los míos iluminan a dos chicos jóvenes montados en una motillo. Van inclinados hacia delante bajo la lluvia, con los cascos puestos y pegados al lado derecho de la carretera, mientras los coches pasan cerca, salpicándolos con turbonadas de agua. Es zona de urbanizaciones, la moto es pequeña, y al dar la luz larga confirmo que los chicos deben de tener diecisiete o dieciocho años y no van equipados para la carretera. Se trata, deduzco, de dos muchachos haciendo un trayecto corto. Seguramente viven en las cercanías y se dirigen a casa de un amigo, o a uno de los multicines o complejos recreativos próximos. El aguacero los sorprendió subiendo el puerto, y avanzan lo mejor que pueden, pegado el que va de paquete a la espalda del compañero, con la resolución insensata y valerosa de su extrema juventud. Jugándose literalmente la vida a las diez de la noche, a oscuras en una carretera, bajo la lluvia, para llegar a tiempo a la cita con los compañeros de clase, la pandilla de amigos –palabra mágica– o el par de chicas con las que están citados en la hamburguesería o el cine. Y mientras, disponiéndome a adelantarlos, pongo el intermitente a la izquierda para advertir de su presencia a los coches que vienen detrás de mí, pienso que no me gustaría ser hoy la madre o el padre que vieron salir a esos chicos de casa, oyeron el tubo de escape de la moto alejándose, y ahora escuchan golpear la lluvia en los cristales.

Sin duda me hago viejo, pienso. Demasiado. Por alguna extraña razón, esos dos muchachos en la motillo, tozudamente inclinados hacia delante bajo la lluvia, me remueven los adentros. Hace demasiado tiempo que dejé atrás líneas de sombra y demás parafernalia moza; pero aún recuerdo lo que puede sentirse a lomos de una moto que avanza trazando curvas en la oscuridad, impulsado, como esa pareja de frágiles jinetes nocturnos, por la amistad, el amor, el deseo de aventura, la irreflexiva osadía de la juventud firme, arriesgada, segura. Y es noche de sábado, nada menos. El tiempo que hay por delante está preñado de promesas. No hay lluvia, ni carretera negra, ni turbonadas de agua pulverizada al paso de coches indiferentes que enfríe el entusiasmo de dos jóvenes de diecipocos años que cabalgan resueltos a zambullirse expectantes, gozosos, en cuanto los aguarda. En la plena vida. Tal vez, mientras la lluvia azota las viseras bajadas de sus cascos y el agua les empapa cazadoras y pantalones, presienten la música que oirán dentro de un rato, oyen la risa leal de los amigos, ven ante sí los ojos de muchachas que esta noche los mirarán a los ojos para confirmarles que el mundo es un lugar maravilloso. Quizá porque van al encuentro de todo eso los dos chicos siguen adelante sin arredrarse, con su pequeña moto. Son jóvenes, sufridos, valientes. Y se creen eternos. Inmortales.

Mientras paso a su lado, adelantándolos entre turbonadas de lluvia, los miro de soslayo y les deseo suerte. Ojalá, pareja de impávidos pardillos, lleguéis sanos y salvos allí a donde os dirijáis, y el calor de los amigos os seque las ropas mojadas, la piel fría y las manos heladas. Que valga la pena lo que estáis pasando. Que la hamburguesa esté en su punto, la cocacola lo bastante fría, las palomitas crujan, la película sea tan buena como os dijeron, la chica sonría como esperáis y se deje besar esta noche por fin, o bien os acometa y bese ella, que tanto monta. Que podáis volver a casa sobre un asfalto seco y con la gasolina suficiente para que la motillo no os deje tirados, y que los padres que ahora miran angustiados el reloj sientan el inmenso alivio de oír abrirse la puerta de la calle o vuestros pasos en el pasillo al regresar. Que todo eso os pertenezca para siempre, y que esta valerosa determinación, dos muchachos solos en la noche subiendo un puerto peligroso, inclinados tenazmente bajo la lluvia, no os abandone nunca en otras carreteras. Amén.

Con tales pensamientos termino de adelantar, pongo el intermitente a la derecha y sigo adelante mientras queda atrás, en el retrovisor, el faro solitario de la pequeña moto. Dos chicos irresponsables, tontos y valientes, me digo perdiéndolos de vista. Ojalá lleguen a donde van. Ojalá lleguen todos.
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Tartaglia y su Triángulo

2007-12-28T13:50:00.000Z

Niccolo Fontana (1500 - 13 de diciembre 1557), matemático italiano apodado Tartaglia (el tartamudo) desde que de niño recibió una herida en la toma de su ciudad natal, Brescia, por Gastón de Foix. Huérfano y sin medios materiales para proveerse una instrucción, llegó a ser uno de los principales matemáticos del siglo XVI. Explicó esta ciencia sucesivamente en Verona, Vicenza, Brescia y finalmente Venecia, ciudad en la que falleció en 1557 en la misma pobreza que le acompañó toda su vida. Se cuenta que Tartaglia sólo aprendió la mitad del alfabeto de un tutor privado antes de que el dinero se agotara, y posteriormente tuvo que aprender el resto por su cuenta. Sea como sea, su aprendizaje fue esencialmente autodidacto.

Descubridor de un método para resolver ecuaciones de tercer grado, estando ya en Venecia, en 1535 su colega del Fiore discípulo de Scipione del Ferro de quien había recibido la formula para resolver las ecuaciones cúbicas, le propone un duelo matemático que Tartaglia acepta. A partir de este duelo y en su afán de ganarlo Tartaglia desarrolla la fórmula general para resolver las ecuaciones de tercer grado. Por lo que, consigue resolver todas las cuestiones que le plantea su contrincante, sin que éste logre resolver ninguna de las propuestas por Tartaglia.

El éxito de Tartaglia en el duelo llega a oídos de Gerolamo Cardano que le ruega que le comunique su fórmula, a lo que accede pero exigiéndole a Cardano jurar que no la publicará. Sin embargo, en vista de que Tarataglia no publica su fórmula, y que según parece llega a manos de Cardano un escrito inédito de otro matemático fechado con anterioridad al de Tartaglia y en el que independiente se llega al mismo resultado, será finalmente Cardano quien, considerándose libre del juramento, la publique en su obra Ars Magna (1570). A pesar de que Cardano acreditó la autoría de Tartaglia, éste quedó profundamente afectado, llegando a insultar públicamente a Cardano tanto personal como profesionalmente. Las fórmulas de Tartaglia serán conocidas como fórmulas de Cardano.

Quizás lo que más famoso ha hecho a este matemático es el conocido triángulo de números que lleva su nombre, a pesar de que también se conoce como Triángulo de Pascal:

En él, cada número resulta de sumar los dos que haya en su extremo superior izquierdo y en su extremo superior derecho.

El Triángulo de Tartaglia está relacionado con los números combinatorios y con el desarrollo de las potencias de un binomio, como por ejemplo se puede apreciar aquí (los coeficientes del polinomio resultante coinciden con la fila n=4 del triángulo):

Así que ya saben, ya no tienen excusa para calcular "fácilmente" cualquier potencia de un binomio.

PD: El triángulo de Tartaglia encierra otras muchas propiedades curiosas, algunas de las cuales podéis ver aquí.

Fuente:

http://es.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A1ngulo_de_Pascal

http://es.wikipedia.org/wiki/Niccol%C3%B2_Fontana_Tartaglia

http://es.geocities.com/matesbueno/articulos/el_triangulo_de_tartaglia.htm

Qué leer: EL HOBBIT

2007-12-28T13:41:00.000Z

Recientemente Santa Claus tuvo la amabilidad de regalarme la edición especial limitada de El Hobbit, primer libro en el que el maestro Tolkien nos presenta a unos asombrosos seres, que aun siendo por naturaleza apacibles y tranquilos, esconden en su interior un asombrosa valentía y coraje. En este libro se relatan las primeras aventuras de Bilbo Bolsón, y su primer encuentro con el gran mago Gandalf. No les quiero revelar nada más, tan sólo quería decirles que creo que es un libro de lectura obligatoria, junto a su hermano mayor, El Señor de los Anillos, que sigue siendo mi libro favorito.

Así que ya saben, si no saben qué regalar estas navidades, yo les aconsejo que regalen todo un universo fantástico, y unos personajes que una vez los conozcan, les acompañarán para el resto de sus vidas.

Miguel Ángel Buonarroti: El Genio.

2007-12-24T11:17:00.000Z

Os presento hoy a un artista excepcional, y del que he tenido la suerte de disfrutar de su escultura y de su pintura in situ. Uno de los artistas más importantes del Renacimiento, y al que la revista Xlsemanal le dedica un artículo muy interesante esta semana. Bueno, más concretamente se lo dedica a La Capilla Sixtina, una de las obras artísticas más impresionantes y más importantes de toda la historia de la Humanidad.

Desde aquí recomiendo que no se pierdan el reportaje, y si están interesados en la figura de este pedazo de artista visiten el artículo correspondiente en la wikipedia, que me parece bastante completo e interesante.

Les dejo finalmente con algunas de sus mejores obras:

Feliz Navidad

2007-12-24T11:09:00.000Z

Desde aquí un abrazo enorme y desearos felices fiestas a todos los que seguís el blog, al que tengo algo abandonado ultimamente por falta de tiempo e ideas.

Así que considerados felicitados toda mi gente y amigos en Cádiz, Tarifa, Málaga, Villanueva de Córdoba, y México (habéis visto que internacional estoy? jajaja)

Y tambien un saludo muy especial a todos los ex-alumnos que me lean, y a los que todavía no son ex, en particular a esa pedazo de tutoría que es 3º A del IES BAelo Claudia: a Yasmela, MariLuz Benitez, MariLuz Díaz, Nuria, Patricia, Lucía, Eduardo, Ricardo, Paco, Curro, Fran, Sebastián, Kike, Dani, Antonio, JoseAlberto, Javi, Germán, Alejandro, Miguel Angel, MiguelAngel Cofrancesco, Jorge, Marcial, Adrián , y a Sergio, (aunque haya fichado por 3ºC) ¡muchas gracias a todos por ser tan geniales!

Que el año nuevo sólo os traiga felicidad.

Fourier: Matemático en serie.

2007-11-01T15:48:00.000Z

Jean-Baptiste-Joseph Fourier (21 de marzo 1768 en Auxerre - 16 de mayo 1830 en París), matemático y físico francés conocido por sus trabajos sobre la descomposición de funciones periódicas en series trigonométricas convergentes llamadas Series de Fourier. Estudió con los benedictinos en la Escuela Militar de Auxerre, pero abandonó su destino monástico para decicarse al estudio de las ciencias.

Participó en la revolución francesa y, gracias a la caída del poder de Robespierre, se salvó de ser guillotinado. Se incorporó a la Escuela Normal Superior de París en donde tuvo entre sus profesores a Joseph-Louis Lagrange y Pierre-Simon Laplace. Posteriormente, ocupará una cátedra en la Escuela Politécnica.

Fourier participó en la expedición de Napoleón a Egipto en 1798. Nombrado secretario perpetuo del instituto de Egipto el 22 de agosto de 1798 presenta numerosas memorias y dirige una de las comisiones de exploración del Alto Egipto. Entre las distintas funciones políticas o administrativas que llevó a cabo, destaca la de comisario francés en el Divan. A la muerte del General en Jefe del Ejército de Oriente Jean Baptiste Kléber a manos de un fanático sirio en su residencia en El Cairo. El secretario perpetuo del Instituto, Jean-Baptiste Joseph Fourier, amigo y colaborador del General Kléber, es quien pronuncia el elogio fúnebre, el 17 de junio delante del Instituto de Egipto. A su regreso a Francia en 1801, Napoleón lo nombra prefecto de Isère entre 1802 y 1815, Fourier presenta a Jean-François Champollion a los veteranos de la expedición de Egipto.

Entró a la Academia de Ciencias Francesa en 1817 y al cabo de cinco años se convirtió en el secretario perpetuo de las secciones de matemáticas y física.

Muere en Paris el 16 de mayo de 1830.

Se le dedicó un asteroide que lleva su nombre y que fue descubierto en 1992.

Si quieren saber más sobre las famosas de series de Fourier, les recomiendo:
http://www.seriedefourier.com.ar/Index.html
http://www.monografias.com/trabajos11/serfour/serfour.shtml

Fuente: http://es.wikipedia.org/wiki/Joseph_Fourier

¡Magia Potagia!

2007-11-01T15:35:00.000Z

Los números esconden en su interior infinitas curiosidades. Una de las más divertidas es la sensación de que, a veces, puede parecer que hacemos magia con ellos. Aquí tienen algunos trucos para sorprender a sus amistades:

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Escribe en un papel el numero 12345679 (ojo, falta el 8)

Pide a un amigo que te diga una cifra del 1 al 9.

Multiplícala mentalmente por 9, escribe el resultado bajo el numero 12345679 y pide a tu amigo que multiplique las dos cifras.

Se asombrara del resultado.

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Pon sobre la mesa un sobre cerrado, un papel y un lapicero.

Pide a un amigo que escriba en él papel cualquier numero de tres cifras, por ejemplo 528.

Pidele que escriba este mismo numero con las cifras invertidas, en nuestro ejemplo 825 y que reste el menor del mayor, 825-528=297.

y por ultimo que sume los dígitos del numero obtenido, 2+7+9=18.

Entonces abre el sobre y saca un papel que pusiste antes de cerrarlo con la frase "El numero obtenido es el 18"

¿Qué como lo sabias?
El resultado siempre es 18, únicamente una precaución, el numero inicial no puede ser capicúa, al hacer la resta daría 0 de resultado.

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Pon otro sobre encima de la mesa y pide que escriban esta vez un numero de 4 dígitos, por ejemplo 2536.

Debajo de ese numero que escriba otro con los mismos dígitos pero en diferente orden, por ejemplo 3265.

Que resten el menor del mayor, 3265-2536=729 y que sumen los dígitos del numero obtenido, 7+2+9=18.

Si el resultado es un numero de dos dígitos que los sumen entre si, 1+8=9.

Abre el sobre y saca el papel donde escribiste "El numero obtenido es el 9"
¿Sorprendido?

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Fuente: http://www.juegosdelogica.com/neuronas/matemagi.htm

Ellas

2007-10-31T23:47:00.000Z

Porque las chicas tambien contribuyeron a construir unas matemáticas más fuertes en un mundo que sólo aceptaba hombres, les presento a algunas de las más importantes:

Teano:

La primera mujer matemática de la que se tiene noticia fue Teano en el s. VI a.C.

Era hija de Milón, mecenas de Pitagoras. Teano fue una destacada discípula de Pitagoras, y se casó con él.

Hipatia:

Siglo IV d.C. Era hija de un profesor de matemáticas de la universidad de Alejandría. Dicen que era muy guapa y que tuvo muchos pretendientes, pero rechazó todas las proposiciones matrimoniales. En aquella época en Alejandría había una gran tensión social, debido a los esclavos y a la iglesia cristiana. Cirilo, el arzobispo de Alejandría estaba enfrentado a Hipatia y un día una multitud fanática, seguidora de Cirilo, asaltó el carruaje de Hipatia, fue brutalmente asesinada y sus restos quemados y sus obras destruidas. Hipatia cayó en el olvido para toda la humanidad y Cirilo fue proclamado santo.

Maria Gaëtana Agnesi:

Nació en Milán en 1718, era hija de Pietro Agnesi, un rico comerciante de seda (en muchas biografías se dice que su padre era matemático, pero parece ser que no es correcto). Pietro Agnesi tuvo 21 hijos (con tres esposas) y Maria era la primogénita.

María Agnesi tuvo buenos profesores, además fue una alumna excelente.

Fué famosa por sus tratados sobre las tangentes a curvas.

Dió nombre a una curva: la bruja Agnesi. La razón de este nombre es la siguiente: En 1718, Grandi, que estudiaba la curva, le dió el nombre latino (en aquella época la gente culta escribía en latín) versoria porque la figura de la curva semejaba el de la 'cuerda que dirige la vela'. Grandi tradujo al italiano versoria por versiera y la curva pasó a llamarse 'la versiera'. John Colson, que tradujo al ingles el libro de Agnesi Instituzioni analitiche ad uso della gioventú italiana, confundió 'la versiera' (la curva) por l'aversiera' (la bruja).

Despues de la muerte de su padre, María gastó todo su dinero en obras de caridad y murió en la pobreza.

Sophie Germain:

Nació el 1-04-1776. Hija de un rico comerciante francés. Se llegó a obsesionar con el estudio de las matemáticas, tanto que su padre, para impedirle que estudiase por las noches le escondia las velas. Con el tiempo sus padres cedieron y financiaron los estudios de su hija.

En esta época la sociedad era muy machista y la mujer no podía dedicarse a tareas usualmente de hombres. Como Sophie no podía ingresar en la École Polytechnique, asumió la identidad de un antiguo alumno (Monsieur Antoine-August Le Blanc). La secretaría de la escuela le enviaba por correo los apuntes y problemas y respondía las soluciones por correo. Al cabo de unos meses el encargado de curso, Lagrange, admirado por la brillantez de las respuestas, solicitó una entrevista con el alumno. Sophie se vió obligada a revelar su auténtica identidad. Lagrage se convirtió en su mentor y amigo.

Sophie admiraba a Gaüs, le escribió, haciéndose pasar por Le Blanc, comunicándole sus descubrimientos matemáticos. Cuando Napoleón invadió Prusia, Sophie, que era amiga de un general de Napoleón que estaba en Prusia, envió un mensaje a su amigo para que garantizase la vida de Gaüs. El general comunicó a Gaüs que debía su vida a mademoiselle Germain. Gaüs quedó agradecido pero sorprendido, pues no conocía a tal señorita. En la próxima carta de Sophie a Gaüs, le reveló su verdadera identidad.

Sophie murió de cáncer de mama. En el certificado de defunción consta como renttiére-annuitant (mujer sin oficio). Más aún, cuando se erigió la torre Eiffel (para la Expo de 1889), se inscribieron los nombres de 72 sabios franceses y Sophie Germain no figura entre ellos.

Emmy Amalie Noether:

Nació en 1882 en Erlangen, Alemania y murió en 1935 en Pennsylvania, USA.

Su padre era profesor de matemáticas en Erlangen.

Estudió Frances e Ingles y aunque obtuvo el título de profesora de Ingles y Francés no llegó a ejercer en estas materias.

Se dice que ha sido la matemática más grande de la historia de las matemáticas. Tuvo que vencer muchas dificultades para estudiar matemáticas, porque en ese tiempo a las mujeres no se les permitía estudiar, oficialmente, en las universidades alemanas. Cuando se doctoró en la Universidad de Erlangen (1898) el senado académico declaró que la admisión de mujeres estudiantes "subvertía todo el orden académico".

En 1915 Hilbert y Klein invitaron a Noether a volver a Göttingen y lucharon contra las autoridades universitarias para habilitar como profesora a Noether. No lo consiguieron hasta 1919.

Es famosa por sus trabajos sobre teoría de ideales. En 1921 publicó un artículo (Idealtheorie in Ringbereichen) sobre teoría de anillos tan importante que, desde entonces, se llaman anillos noetherianos a una determinada clase de anillos.

También fue una excelente profesora. Siempre estaba rodeada de estudiantes.

In 1933 los nazis, provocaron su expulsión de Göttingen, porque era judía. Se fue a USA.

Fuente: http://personal.redestb.es/javfuetub/biografias/mujmat.htm

This is Halloween

2007-10-31T23:36:00.000Z

Vale que no sea costumbre española eso de ir por las casas pidiendo golosinas, ni colocar calabazas en los hogares para celebrar esta noche... pero a mi... ¡¡me encanta halloween:!!

¡FELIZ DÍA DE HALLOWEEN A TODOS!

DEXTER: El Asesino de al Lado.

2007-10-27T10:54:00.001+01:00

¿Podrías llegar a simpatizar con el peor asesino en serie de toda América? Pues si ven esta serie, les aseguro que lo harán. Y todo eso a pesar de que Dexter es una persona carente de ningún tipo de sentimiento que se dedica a matar porque "lo necesita", y no se siente realizado sin hacerlo frecuentemente.
Aunque claro, su padre le enseñó que eso de matar está mal, así que Dex sólo elige como víctimas a asesinos como él.

Esta es la premisa de la serie revelación de la temporada pasada en USA. Una serie protagonizada por el magnífico y carismático actor Michael C. Hall, al que ya pudimos ver en la soberbia "A dos metros bajo tierra" haciendo un papel totalmente opuesto al de esta serie, lo que nos da idea de la genialidad y del talento de este actor.

La serie consta de 12 capítulos en su primera temporada, lo que hace que apenas baje el interés, siendo los 4 últimos capítulos una lección de cómo conseguir enganchar al espectador para que necesite (sí, necesite) ver el siguiente capítulo.

Y tras la primera temporada, la segunda, que se emite actualmente sigue manteniendo el buen nivel y hoy por hoy es una de las mejores series que se emiten en la tv americana.

Aunque tiene previsto emitirse en España (Cuatro anunció que la emitirá en un futuro) les recomiendo descargarse la serie por internet, para poder disfrutar de la versión original, puesto que, al estar rodada en Miami, muchos de los actores son hispano hablantes, y mezclan constantemente el español con el inglés, dándole un toque bastante curioso a la serie. Incluso en un capítulo Michael se atreve a soltar toda una frase en "spanish" , algo así como "A lo mejor los pescados te encuentran". No me pregunten lo que significa. Mejor vean la serie.

Bolzano: Sencillez y Elegancia.

2007-10-27T10:30:00.000+01:00

Recuperamos hoy la sección "biografía de matemáticos", con uno de mis favoritos: el checoslovaco Bernard Bolzano. Sinceramente, siempre me acordaré de él porque en su momento enunció uno de los teoremas más simples y a la vez más importantes de todo el análisis matemático. La sencillez del teorema es tremenda, y viene a decir (más o menos) algo así: Si tengo dos puntos separados por una línea recta, y quiero unir esos dos puntos con una línea contínua, por narices dicha línea contínua debe cortar en algún momento a la recta que separa los puntos. ¿A qué parece obvio? Pues hasta que llegó él nadie lo había demostrado antes. A veces, algo sencillo puede ser tremendamente importante. Pero bueno, no me enrrollo más. Con todos ustedes, Bernard Bolzano:

Bolzano (1781 - 1848)

Bernard Bolzano, liberó al cálculo del concepto infinitesimal. También dio ejemplos de la correspondencia de las funciones 1-1.

Bolzano fue un filósofo, matemático y teólogo quien hizo significantes contribuciones tanto a las matemáticas como a la Teoría de la Ciencia, en algunos aspectos constituye un interesante precedente de la lógica matemática. En su obra póstuma "Paradojas de lo infinito" presenta conceptos que aparecen como una anticipación de la Teoría de Cantor acerca de los números transfinitos.

Bolzano ingresó a la facultad de filosofía en la Universidad de Praga en el 1796, estudió filosofía y matemática. Bolzano escribió :

Mi especial placer por las matemáticas

En metafísica Bolzano se opuso a Kant, reivindicando el carácter constructivo, y no simplemente regulativo de algunas ideas metafísicas como las relativas a Dios y a la mortalidad del alma.

Por interesantes que sean las especulaciones metafísicas y teológicas de Bolzano es hoy común acuerdo que la más importante e influyente contribución de este pensador se halla en sus ideas sobre lógica y teoría de conocimiento.

Bolzano influyó sobre muchos que intentaron depurar la lógica de todo psicologismo y fundarla en el análisis de preposiciones. Según Bolzano, la lógica tiene como misión estudiar las proposiciones como tales, es decir las proposiciones en si. Las proposiciones son enunciados mediante los cuales se declara que algo es o no es, con independencia de que sea verdadero o falso.

Bolzano, se adelantó a los analistas rigurosos del siglo XIX, a saber : en el concepto de función continua y en la demostración de sus propiedades, en el criterio de convergencia de series, y en la existencia de funciones continuas sin derivadas; pero por haber publicado sus escritos de análisis en Praga, ciudad entonces alejada de los centros científicos , o de permanecer inéditos, como su importante Teoría de Funciones, que apareció en 1930, la influencia de sus ideas fue escasa.

El teorema de Bolzano dice así:

Si f(x) es una función continua en el intervalo [a, b], y si, además, en los extremos del intervalo la función f(x) toma valores de signo opuesto (f(a) * f(b) < 0), entonces existe al menos un valor c perteneciente a (a, b) para el que se cumple: f(c) = 0.

Fuentes:

http://es.wikipedia.org/wiki/Imagen:Bernard_Bolzano.jpg

http://www.mat.usach.cl/histmat/html/bolz.html

http://centros5.pntic.mec.es/~marque12/matem/bolzano.htm

El Ajedrez y la inmensidad del Trigo

2007-10-27T10:24:00.000+01:00

Aquí les dejo una sencilla historia, en la que se puede observar hacia qué desorbitados números nos puede llevar una simple serie geométrica de 64 elementos.

Cuando un matemático oriental inventó el admirable juego de ajedrez, quiso el monarca de Persia conocer y premiar al inventor. Cuenta el árabe Al-Sefadi que el rey ofreció a dicho inventor concederle el premio que solicitara.

El matemático se contentó con pedirle 1 grano de trigo por la primera casilla del tablero de ajedrez, 2 por la segunda, 4 por la tercera y así sucesivamente, siempre doblando, hasta la última de las 64 casillas.

El soberano persa casi se indignó de una petición que, a su parecer, no había de hacer honor a su liberalidad.

- ¿No quieres nada más? preguntó.

- Con eso me bastará, le respondió el matemático.

El rey dió la orden a su gran visir de que, inmediatamente, quedaran satisfechos los deseos del sabio.

¡Pero cuál no sería el asombro del visir, después de hacer el cálculo, viendo que era imposible dar cumplimiento a la orden!

Para darle al inventor la cantidad que pedía, no había trigo bastante en los reales graneros, ni en los de toda Persia, ni en todos los de Asia.
El rey tuvo que confesar al sabio que no podia cumplirle su promesa, por no ser bastante rico.

Los términos de la progresión arrojan, en efecto, el siguinte resultado: dieciocho trillones, cuatrocientos cuarenta y seis mil setecientos cuarenta y cuatro billones, setenta y tres mil setecientos nueve millones, quinientos cincuenta y un mil seiscientos quince granos de trigo.

18.446.744.073.709.551.615

Se sabe que una libra de trigo, de tamaño medio, contiene 12.800 granos aproximadamente. ¡Calcúlese las libras que necesitaba el rey para premiar al sabio! Más de las que produciría en ocho años toda la superficie de la Tierra, incluyendo los mares.

Con la cantidad de trigo reclamada, prodría hacerse una pirámide de 9 millas inglesas de altura y 9 de longitud por 9 de latitud en la base; o bien una masa paralelipípeda de 9 leguas cuadradas en su base, con una legua de altura. Semejante sólido sería equivalente a otro de 162.000 leguas cuadradas con un pie de altura.

Para comprar esa cantidad de trigo, si la hubiera, no habría dinero bastante en este mundo.

Fuente: http://canal-h.net/webs/rguerrero001/Leyenda.htm