Pues eso, después de un largo y trabajado curso , todos nos merecemos unas buenas vacaciones, también este blog que ha estado siempre intentando ampliar contenidos y ayudaros en vuestros estudios de la mejor manera que su autor ha sabido. El blog cierra estos meses de Julio y Agosto, pero volverá con fuerzas renovadas en Septiembre. Un abrazo a todos y feliz verano!!
Bueno, en este post voy a colgar varios videos y presentaciones que podéis encontrar en la red acerca de la representación gráfica y cálculo de ecuaciones de la recta y la parábola. Como sorpresa, os incluyo un vídeo grabado por mí mismo, en el cual hago el esbozo de una parábola explicando todos los pasos. Espero que os guste; si la idea tiene éxito me plantearé seguir grabando y colgando más videos propios. Lo malo es que escribir con una mano sujetando el papel y el boli y con la otra sujetando la cámara es bastante incómodo, pero bueno, no descarto comprarme algún día una tableta gráfica digital para que lo que escriba aparezca directamente en el ordenador. Sin más, os dejo con los vídeos:
¡Mi vídeo!
...........................................
Presentación en slideshare sobre funciones cuadráticas
Fotitos de parábolas que nos podemos encontrar por la calle. Cuando volváis a comer en un macdonalds miraréis a la hamburguesa de otra manera XD
Pues esta mañana estaba yo en clase, y casi sin quererlo solté aquello de "Cogito, Ergo Sum", que es una frase en latín que significa "Pienso, por lo tanto existo", y me dije que sería muy interesante poner a vuestra disposición una listilla de frases en latín famosas, para que las pongais de firma en el messenger, y así os hagais pasar por supereruditos y snobs, jajaja. Nah, es broma. De todos modos, os pongo las frases, hay algunas realmente interesantes, y como dice el refrán, "el saber no ocupa lugar" :
* «Fortuna iuvat audaces» ("La fortuna sonríe a los audaces").
* «Non scholae, sed vitae discere» ("No aprendáis de la escuela, sino de la vida").
* «Cogito, ergo sum» ("Pienso, luego existo") (René Descartes).
* «Alea iacta est» ("La suerte está echada") (frase pronunciada por Julio César al cruzar el río Rubicón a pesar de la negativa del Senado para que entrara en Italia: esta acción dio origen a la Guerra Civil Romana).
* «Inter arma, silent leges» ("Cuando las armas hablan, callan las leyes") (Michael Waltzer, en su obra Guerras justas e injustas).
* «Non nobis, Domine, sed nomini tuo da gloriam» ("No a nosotros, Señor, sino a tu nombre da gloria") (palabras con las que se arengaba a las tropas templarias antes de entrar en combate).
* «A Deo rex, a rege lex» ("De Dios el rey, del rey la ley") (lema del absolutismo monárquico que pensaba que el poder de la monarquía procedía directamente de Dios).
* «A fronte praecipitium, a tergo lupi» ("Al frente, un precipicio, los lobos a la espalda", es decir, "Entre la espada y la pared").
* «A fructibus cognoscitur arbor» ("Por sus frutos conocemos el árbol").
* «Ama et qod vis fac ("Ama y haz lo que quieras") (San Agustín)».
* «Divide et impera» (otra variante: «Divide et vinces» ("Divide y vencerás") (atribuida a Julio César, Filipo de Macedonia o Luis XI de Francia).
* «Ignavi coram morte quidem animam trahunt, audaces autem illam non saltem advertunt» ("Los cobardes agonizan ante la muerte, los valientes ni se enteran de ella") (Julio César).
* «Veni, vidi, vici» ("Llegué, vi y vencí") (Julio César).
* «Fere libenter homines, id quod volunt, credunt» ("La gente casi siempre cree de buena gana lo que quiere") (Julio César).
* «Carpe diem» ("Aprovecha el día, aprovecha la vida").
* «In medio consistit virtus / In medio stat virtus / In medio virtus» ("En el medio está la virtud").
* «Hoc non pereo habebo fortior me / Quod non me necat, fortior me facit / Quod non me occidit, me certe fortiorem reddit» ("Lo que no me mata, me hace más fuerte", traducción de la frase de Friederich Nietzsche: "Das mich nicht tötet, bildet mich stärker").
* «Entia non sunt multiplicanda praeter necessitatem» ("No ha de presumirse la existencia de más cosas que de las absolutamente necesarias": máxima conocida como "la navaja de Occam").
* «Aquila non capit muscas» ("El águila no caza moscas" = "Las grandes personas no se ocupan de problemas nimios").
Fuente
---------
Algunas más:
Veritas filia temporis
("La verdad es hija del tiempo")
Tempora tempore tempera
("Oportunamente aprovecha las épocas" = "Aprovecha el tiempo oportunamente")
Ad occasum tendimus omnes
("Todos tendemos al ocaso" Inscrito en un reloj de sol)
Qualis artifex pereo!
("¡Qué artista perece conmigo! Palabras que Nerón pronunció ante su lecho de muerte)
Quam bene vivas refert, non quam diu
("No importa cuánto vivas, sino que vivas bien").(Séneca)
Nihili est qui nihil amat
("Nada es (o vale) quien nada ama").(Plauto, El Persa)
Amor animi arbitrio samitur non ponitur
("Elegimos amar, pero no podemos elegir cuándo dejar de amar").
Nec sine te nec tecum vivere possum
("Ni sin ti ni contigo puedo vivir").(Ovidio, Amores, 3, 11, 39)
Qui invenit amicum, invenit thesaurum
("Quien ha encontrado un amigo, ha encontrado un tesoro").(Eclesiastés, 6, 14)
Fuente
Aquí teneis unos cuantos ejercicios para practicar la representación gráfica y la obtención de ecuaciones de rectas, así como el cálculo de sus puntos de cortes.
- Calcula las ecuaciones de las rectas correspondientes, calcula sus puntos de cortes con los ejes y represéntalas gráficamente conociendo los siguientes datos:
I.- Conocidos un punto y la pendiente
1.- P (2.9) m = 3
2.- P(3, -1) m = -2
3.- P(-5, -2) m = 4
4.- P (-3, 7) m = -1
5.- P (0, 0) m = 6
II.- Conocidos un punto y la ordenada en el origen
1.- P (2.9) n = 3
2.- P(3, -1) n= -2
3.- P(-5, -2) n = 4
4.- P (-3, 7) n = -1
5.- P (2, 6) n = 3
III.- Conocidos dos puntos.
1.- P (3, 0) y Q (-2, -5)
2.- P( 4, -8) y Q (1, -2)
3.- P (-1, 1) y Q (3, 7)
4.- P (2.7) y Q (3, -1)
5.- P (5, 9) y Q (0, 0)
- Calcula los puntos de corte entre:
a) las rectas I.1 y I.2
b) las rectas II.3 y II.5
c) las rectas III.4 y III.5
Para salirme un poco del tono habitual de los últimos posts, voy a recomendar aquí un programa de televisión realmente magnífico. De esos que te hacen pensar que la televisión, tan llena últimamente de basura y de amarillismo es capaz de darnos todavía algo honorable.
En la 2 noticias se habla por supuesto, de la actualidad, pero también de muchos temas culturales y de denuncia social que el resto de noticiarios obvian constantemente.
En el informativo del día 26/05/2009 se habla, por ejemplo, del problema de África y del festival de cine africano que se celebra en Tarifa estos dias. (mirar en el video del enlace a partir del minuto 10:40)
Lo peor del programa es su horario, puesto que siempre lo emiten más allá de la medianoche, lo cual es un problema para los que debemos madrugar.
Pero gracias a internet, podeis ver el informativo siempre que queráis, desde esta página.
Realmente yo creo que merece la pena, espero que os guste y la agreguéis a favoritos como la tengo yo.
Generalmente se hace uso de las funciones reales, (aún cuando el ser humano no se da cuenta), en el manejo de cifras numéricas en correspondencia con otra, debido a que se está usando subconjuntos de los números reales. Las funciones son de mucho valor y utilidad para resolver problemas de la vida diaria, problemas de finanzas, de economía, de estadística, de ingeniería, de medicina, de química y física, de astronomía, de geología, y de cualquier área social donde haya que relacionar variables.
Cuando se va al mercado o a cualquier centro comercial, siempre se relaciona un conjunto de determinados objetos o productos alimenticios, con el costo en pesos para así saber cuánto podemos comprar; si lo llevamos al plano, podemos escribir esta correspondencia en una ecuación de función "x" como el precio y la cantidad de producto como "y".
Función Afín
Se puede aplicar en muchas situaciones, por ejemplo en economía (uso de la oferta y la demanda) los ecónomos se basan en la linealidad de esta función y las leyes de la oferta y la demanda son dos de las relaciones fundamentales en cualquier análisis económico. Por ejemplo, si un consumidor desea adquirir cualquier producto, este depende del precio en que el artículo esté disponible. Una relación que especifique la cantidad de un artículo determinado que los consumidores estén dispuestos a comprar, a varios niveles de precios, se denomina ley de demanda. La ley más simple es una relación del tipo P= mx + b, donde P es el precio por unidad del artículo y m y b son constantes.
Muchas son las aplicaciones de la función lineal en el caso de la medicina. Ciertas situaciones requieren del uso de ecuaciones lineales para el entendimiento de ciertos fenómenos. Un ejemplo es el resultado del experimento psicológico de Stenberg, sobre recuperación de información.
Esta dada por la formula y=mx+b donde m y b son números reales llamados pendiente y ordenada al origen respectivamente. Su gráfica es una recta.
Dada la ecuación y=mx+b:
Si m=0, entonces y=b. Es decir, se obtiene la función constante, cuya gráfica es una recta paralela al eje x que pasa por el punto (0,b).
Si b=0, entonces y=mx. Esta ecuación tiene por gráfica una recta que pasa por el origen de coordenadas (0,0).
Función Cuadrática
El estudio de las funciones cuadráticas resulta de interés no sólo en matemática sino también en física y en otras áreas del conocimiento como por ejemplo: la trayectoria de una pelota lanzada al aire, la trayectoria que describe un río al caer desde lo alto de una montaña, la forma que toma una cuerda floja sobre la cual se desplaza un equilibrista, el recorrido desde el origen, con respecto al tiempo transcurrido, cuando una partícula es lanzada con una velocidad inicial.
Puede ser aplicada en la ingeniería civil, para resolver problemas específicos tomando como punto de apoyo la ecuación de segundo grado, en la construcción de puentes colgantes que se encuentran suspendidos en uno de los cables amarrados a dos torres.
Los biólogos utilizan las funciones cuadráticas para estudiar los efectos nutricionales de los organismos. 
Existen fenómenos físicos que el hombre a través de la historia ha tratado de explicarse. Muchos hombres de ciencias han utilizado como herramienta principal para realizar sus cálculos la ecuación cuadrática. Como ejemplo palpable, podemos mencionar que la altura S de una partícula lanzada verticalmente hacia arriba desde el suelo está dada por S= Vot - ½ gt^2, donde S es la altura, Vo es la velocidad inicial de la partícula, g es la constante de gravedad y t es el tiempo.
La función cuadrática responde a la formula: y= a x^2 + b x + c con a distinto de 0. Su gráfica es una curva llamada parábola cuyas características son:
Si a es mayor a 0 es cóncava y admite un mínimo. Si a es menor a 0 es convexa y admite un máximo.
Vértice: Puntos de la curva donde la función alcanza el máximo o el mínimo.
Eje de simetría: x = xv.
intersección con el eje y.
Intersecciones con el eje x: se obtiene resolviendo la ecuación de segundo grado.
Función Logarítmica
La geología como ciencia requiere del planteamiento de ecuaciones logarítmicas para el cálculo de la intensidad de un evento, tal como es el caso de un sismo. La magnitud R de un terremoto está definida como R= Log (A/Ao) en la escala de Richter, donde A es la intensidad y Ao es una constante. (A es la amplitud de un sismógrafo estándar, que está a 100 kilómetros del epicentro del terremoto).
Los astrónomos para determinar una magnitud estelar de una estrella o planeta utilizan ciertos cálculos de carácter logarítmico. La ecuación logarítmica les permite determinar la brillantez y la magnitud.
En la física la función logarítmica tiene muchas aplicaciones entre las cuales se puede mencionar el cálculo del volumen "L" en decibeles de un sólido, para el cual se emplea la siguiente ecuación L= 10 . Log (I/Io) , donde I es la intensidad del sonido (la energía cayendo en una unidad de área por segundo), Io es la intensidad de sonido más baja que el oído humano puede oír (llamado umbral auditivo). Una conversación en voz alta tiene un ruido de fondo de 65 decibeles.
Fuente
Plasmo aquí un texto aparecido en la edición digital de "El País" hace algún tiempo, muy interesante acerca de la relación de las matemáticas con el mundo que nos rodea. Espero que os guste:
Dos caminos paralelos. En uno está el mundo físico, la naturaleza, la vida cotidiana del hombre. En el de al lado, ese lenguaje de pensamiento abstracto llamado matemáticas. Pero en el trayecto ambos caminos se conectan, mejorando de tal manera y tan a menudo la vida del hombre que los ejemplos se convierten en infinitos, tan cotidianos, que no hace falta más que ir al baño, encender la calefacción o el ordenador para encontrar matemáticas.
El ejemplo de los caminos paralelos lo ponía Gutam Mukharjee (45 años), del Instituto Indio de Estadística, durante un descanso de las sesiones del Congreso Internacional de Matemáticos que se acaba de celebrar en Madrid. Allí, unos 3.500 expertos discutieron sobre el presente y el futuro de esta ciencia y, además, mostraron cómo las matemáticas envuelven la vida cotidiana.
- Del termostato al buscador de Internet. Cuando alguien pone el termostato de la calefacción a una temperatura de 20 grados, la máquina encenderá los radiadores hasta que la casa esté un poco por encima de esos 20 grados. Después los apagará hasta que el ambiente esté un poquito por debajo de lo deseado. Luego volverá a encenderlos...
"La estrategia -cuándo se enciende, cuándo se apaga- no es trivial. Para calcularlo se utilizan ecuaciones matemáticas", explica Enrique Zuazua, profesor de la Universidad Autónoma de Madrid. Esas mismas ecuaciones se usan para mantener una velocidad constante en los lectores de CD, o para saber hasta dónde hay que llenar de agua la cisterna, añade.
"La gente está acostumbrada a que las cosas funcionen solas, pero detrás hay algo que las hace funcionar", explica Zuazua. Al introducir una palabra en el buscador de Internet, por ejemplo, en Google, los resultados tampoco son casuales. "Los matemáticos imaginamos la Red como un montón de canicas colocadas sobre una superficie. Hay que identificar quiénes son los que miran y quiénes los que son mirados, buscar la palabra que se pide y jerarquizar los resultados -si buscas la palabra Kleinberg, quieres encontrar a Jon Kleinberg, el científico que acaba de obtener el premio Nevanlinna, no al señor Kleinberg que vive no sé dónde". Todo eso se hace a través de algoritmos que contemplan todas esas variables.
- El casco de los ciclistas y el coche que menos consume. En los últimos años, la forma de los cascos de los ciclistas, al menos los que usan en una contrarreloj, ha cambiado: redondeados por delante, acabados en pico por detrás..., y no se trata de una cuestión estética, sino de aerodinámica, que intenta mejorar el rendimiento de los deportistas. Mediante ecuaciones, se simula el comportamiento de un objeto sólido (el casco, la bicicleta...) en interacción con un fluido (el aire) hasta dar con el diseño más eficiente (en este caso, el que ponga menos resistencia al aire). En los aviones, los coches o los barcos se utiliza el mismo procedimiento, y el diseño variará en función del objetivo: que sea más rápido, más estable o que gaste menos combustible.
- Decisiones y jerarquías reales. En las empresas, más allá de las jerarquías de jefes, subjefes, y tropa, las matemáticas permiten conocer la jerarquía real: qué empleado tiene mejores contactos o a quién hay que dirigirse para canalizar mejor una información. Lo hacen los matemáticos sometiendo los registros de sus correos electrónicos a la teoría de Grafos. Las aplicaciones de las matemáticas en sociología son muy amplias y van más allá de la estadística. Sirven incluso para evitar la propagación de una epidemia o para disminuir su impacto. Cuando no se dispone de medios para inmunizar o controlar a toda la población, las matemáticas permiten determinar a qué personas hay que vacunar para reducir el riesgo, explica Ángel Sánchez, de la Universidad Carlos III de Madrid.
- De la célula al espacio. Predecir el comportamiento de una célula (por ejemplo, una bacteria) y después programarla para que realice una función distinta, la que se necesite en cada momento. La segunda parte sería imposible sin la primera, predicción que se hace con matemáticas. Eso es lo que están haciendo en la Universidad de Valencia y la Universidad Politécnica de Valencia.
Y de lo más pequeño y cercano, a lo más lejano, el espacio. De nuevo con simulaciones matemáticas se calcula en qué momento exacto una sonda espacial ha de apagar los motores al entrar en contacto con la gravedad, y en qué momento, ya cerca del suelo, debe abrir los paracaídas y volver a encender los motores para aterrizar en su destino sin hacerse papilla.
- Una escultura como una ecuación. Música, pintura, escultura..., las artes se han apoyado siempre, de una u otra manera, en las matemáticas. Un ejemplo es la obra del escultor japonés Keizo Ushio, que trabaja con formas geométricas y topológicas como la Banda de Moëbius (una cinta de una sola cara y no orientable), o el toro (una superficie cerrada producto de la unión de dos circunferencias). Una muestra de esta última, realizada en granito durante el Congreso de Matemáticos, se puede encontrar en el futuro Centro de Física del campus de Cantoblanco (Madrid) del CSIC. A partir de cálculos matemáticos, Ushio fragmenta las formas para convertirlas en sus esculturas. "Las matemáticas son un lenguaje universal, y no hace falta papel para plasmarlas", explica. De hecho, asegura que hace sus cálculos "mentalmente".
Se llama criptograma a toda operación aritmética en la que se remplazan los números por letras del alfabeto u otros símbolos.
Para resolver un criptograma es necesario conocer el valor numérico de cada letra (un número entero del 0 al 9), teniendo en cuenta que si una letra es distinta a otra, el valor numérico que esconde también es distinto.
Os propongo un par de criptogramas para resolver. Si lo conseguís, no dudéis en comunicármelo. Puede haber recompensa en forma de positivo.
C U A T R O
x 5
-----------------
V E I N T E
Aún recuerdo cuando, en mi etapa universitaria, uno de mis profesores nos mandó realizar una encuesta en la facultad en la que preguntáramos a la gente qué es una función. La inmensa mayoría de los encuestados no dio con la definición correcta, de hecho, ni tan siquiera se acercaron. Muchos dijeron que una función es una gráfica, lo cual es completamente erróneo. Quizás lo más divertido fue escuchar una respuesta que dijo que una función era lo que se hace en el teatro.
Bueno, más allá de las batallitas del abuelo, quiero usar este post para dar la bienvenida a las funciones, que siempre nos suelen llegar por esta época primaveral, y con las que trabajaremos ya hasta practicamente el final del curso.
Ah, y se me olvidaba. No os voy a dejar con la intriga, os presento la definición de función que vamos a estudiar, aunque no sea la más precisa que podáis encontrar: Una función es una CORRESPONDENCIA entre dos variables (numéricas), de modo que a cada elemento de la primera variable, llamada variable independiente, le asigna un único elemento de la segunda, llamada variable dependiente.
Veremos qué tal nos llevamos con estos nuevos personajes. ¡¡¡Mucha suerte!!!
Aquí tenéis una relación de ejercicios sobre la geometría del triángulo (Semejanza, Teorema de Thales, Teorema de Pitágoras, Teorema del Cateto y de la Altura)
Por si no se ven las páginas podéis bajarlas vía rapidshare:
http://rapidshare.com/files/227170286/problemastriangulos.rar
Mediatrices y Circuncentro
La mediatriz de un segmento es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de los extremos del segmento. Este lugar geométrico resulta ser la recta perpendicular al segmento por su punto medio.
En un triángulo, las mediatrices de los tres lados se cortan en un único punto, llamado circuncentro que es centro de la circunferencia circunscrita al triángulo.
Bisectrices e Incentro
Las bisectrices de un triángulo son las rectas que dividen a sus ángulos en dos partes iguales.
Las bisectrices de un triángulo se cortan en un punto llamado incentro, que es centro de la circunferencia inscrita al triángulo.
Medianas y Baricentro
Las medianas de un triángulo son las rectas que se obtienen al unir cada uno de los vértices del triángulo con el punto medio del lado opuesto a él.
Las tres medianas de un triángulo se cortan en un punto que se llama baricentro.
Alturas y Ortocentro
Las alturas de un triángulo son las rectas perpendiculares que van desde un vértice al lado opuesto o a su prolongación.
Las tres alturas de un triángulo se cortan en un punto que se llama ortocentro.
El ortocentro puede estar situado en el interior del triángulo, en el caso de los triángulos acutángulos; en uno de sus vértices, en los triángulos rectángulos; o en el exterior, en los triángulos obtusángulos.
Bueno, como muchos sabéis, aparte de las matemáticas y la docencia, mi otra gran pasión es el dibujo. Estos días he rescatado algunos que tenia por ahi guardados, y los he escaneado. Algunos son de hace muchos años, allá por el año 96 y otros son de este mismo verano. Por supuesto hay muchos más, pero no quiero saturar el blog, así que he escogido cinco que sirvan como muestra. Espero que os gusten ;-) 
Leonhard Euler fue un matemático suizo, cuyos trabajos más importantes se centraron en el campo de las matemáticas puras, campo de estudio que ayudó a fundar.
Euler nació en Basilea en 1707 y estudió en la Universidad de Basilea con el matemático suizo Johann Bernoulli, licenciándose a los 16 años. En 1727, por invitación de la emperatriz de Rusia Catalina I, fue miembro del profesorado de la Academia de Ciencias de San Petersburgo. Fue nombrado catedrático de física en 1730 y de matemáticas en 1733.
En 1741 fue profesor de matemáticas en la Academia de Ciencias de Berlín a petición del rey de Prusia, Federico el Grande. Euler regresó a San Petersburgo en 1766, donde permaneció hasta su muerte.
Aunque obstaculizado por una pérdida parcial de visión antes de cumplir 30 años y por una ceguera casi total al final de su vida, Euler produjo numerosas obras matemáticas importantes, así como reseñas matemáticas y científicas.
En su Introducción al análisis de los infinitos (1748), Euler realizó el primer tratamiento analítico completo del álgebra, la teoría de ecuaciones, la trigonometría y la geometría analítica. En esta obra trató el desarrollo de series de funciones y formuló la regla por la que sólo las series convergentes infinitas pueden ser evaluadas adecuadamente.
También abordó las superficies tridimensionales y demostró que las secciones cónicas se representan mediante la ecuación general de segundo grado en dos dimensiones. Otras obras trataban del cálculo (incluido el cálculo de variaciones), la teoría de números, números imaginarios y álgebra determinada e indeterminada.
Uno de sus mayores logros es el llamado teorema de los poliedros en el cual indica la relación entre el número de caras, aristas y vértices de un poliedro convexo simple. (Es la fórmula que aparece en la imagen del sello arriba - En castellano es: Número de caras + Número de Vértices = Número de Aristas + 2 )
Euler tenía una memoria prodigiosa; recordaba las potencias, hasta la sexta, de los 100 primeros números primos, y la Eneida entera. Realizaba cálculos mentalmente que otros matemáticos realizaban con dificultad sobre el papel.
La productividad matemática de Euler fue extraordinaria. Nos encontramos su nombre en todas las ramas de las matemáticas: Hay fórmulas de Euler, polinomios de Euler, constantes de Euler, integrales eulerianas y líneas de Euler.
Fuentes:
wikipedia
http://www.astromia.com/biografias/euler.htm
De la maravillosa banda sonora de la serie LOST, os propongo que os relajéis y escuchéis esta preciosa pieza musical de uno de los compositores con más proyección en estos momentos en el mundo de las bandas sonoras. Un placer para los oídos.
" ‘¡Estel, Estel!' -exclamó Arwen, y mientras le tomaba la mano
y se la besaba, Aragorn se quedó dormido. Y de pronto, se reveló
en él una gran belleza, una belleza que todos los que más tarde
fueron a verlo contemplaron maravillados, porque en él veían
unidas la gracia de la juventud y el valor de la madurez, y la
sabiduría y la majestad de la vejez. Y allí yació largo tiempo,
una imagen del esplendor de los Reyes de los Hombres en la
gloria radiante anterior al desgarramiento del mundo.
"Pero Arwen salió de la Casa, y la luz se le había extinguido en
los ojos, y a los suyos les pareció que se había vuelto fría y
gris como un anochecer de invierno que llega sin una estrella.
Entonces dijo adiós a Eldarion, y a sus hijas, y a todos
aquellos a quienes había amado; y abandonó la ciudad de Minas
Tirith y se encaminó al país de Lórien, y allí vivió sola al
amparo de los árboles que amarilleaban hasta que llegó el
invierno. Galadriel había desaparecido y también Celeborn había
partido, y el país estaba silencioso.
"Y allí por fin, cuando caían las hojas de mallorn pero no había
llegado aún la primavera, se acostó a descansar en lo alto de
Cerin Amroth; V allí estará la tumba verde, hasta que el mundo
cambie, y los días de la vida de Arwen se hayan borrado para
siempre de la memoria de los hombres que vendrán luego, y la
elanor y la niphredil no florezcan más al este del Mar.
JRR Tolkien, fragmento de los apéndices de El Señor de los Anillos.
Cuando Gauss tenía diecinueve años todavía dudaba entre sus dos grandes pasiones: la filología o las matemáticas. Lo que hizo que se decantara por ésta última fue su descubrimiento de que al contrario de lo que pensaba todo el mundo por aquel entonces, se podía construir el polígono regular de 17 lados de forma exacta con regla y compás. Es más, dio con una regla que permitía saber cuándo se podía construir de forma exacta un polígono regular según un número de lados cualquiera.
Según las palabras de Gauss: "Fue el día 29 de marzo de 1796, durante unas vacaciones en Brunswick, y la casualidad no tuvo la menor participación en ello ya que fue fruto de esforzadas meditaciones; en la mañana del citado día, antes de levantarme de la cama, tuve la suerte de ver con la mayor claridad toda esta correlación, de forma que en el mismo sitio e inmediatamente apliqué al heptadecágono la correspondiente confirmación numérica."
Aquí os detallo cómo construir esta asombrosa figura:
Parte 1
Partimos de un eje de coordenadas con centro O y otro punto en el eje X al que llamamos A. Trazamos circunferencia c de centro O y radio OA. Llamamos B al punto de corte de esa circunferencia con la parte positiva del eje Y y trazamos circunferencia de centro B y radio OB. Esta circunferencia corta a c en dos puntos a los que llamamamos C y D. Trazamos el segmento CD que corta al eje Y en un punto al que llamamos E. Las figuras construidas en este paso están en color negro.
Parte 2
Trazamos las circunferencias de radio OE que tienen sus centros en O y en E. Llamamos a los dos puntos de corte entre ellas F y G. Trazamos el segmento FG que corta al eje Y en un punto al que llamamos H. Trazamos ahora la bisectriz del ángulo AHO y después la bisectriz de ella con el eje Y. Llamamos I a la intersección de esta última bisectriz con el eje X. Las figuras construidas en este paso están en color azul.
Parte 3
Trazamos la perpendicular al segmento HI que pasa por el punto H y después la bisectriz de esta recta con la recta que pasa por H y por I. Llamamos J al punto de corte con el eje X. Construimos el punto medio del segmento AJ y lo llamamos K. Trazamos la circunferencia de centro K y radio KA. Llamamos L al punto de corte de esta circunferencia con la parte superior del eje Y. Las figuras construidas en este paso están en color verde.
Parte 4
Trazamos la circunferencia de centro I y radio IL y llamamos M y N a los puntos de corte de la misma con el eje X (nótese que N queda muy cerca de K, pero no son el mismo punto). Trazamos las perpendiculares al eje X que pasan por M y por N. Estas perpendiculares cortan a la circunferencia inicial c en P y Q, que son dos de los vértices del heptadecágono. Trazamos la bisetriz del ángulo POQ que corta a la circunferencia inicial c en el punto R, que es también uno de los vértices del heptadecágono. De hecho la longitud de cada uno de los lados es tanto la distancia PR como la distancia RQ. Trasladando esta distancia por la circunferencia inicial las veces necesarias obtenemos los vértices que nos faltan. Las figuras construidas en este paso están en color rojo.
Final
Uniendo todos los vértices obtenidos llegamos a la construcción del heptadecágono. Para que se vea mejor he eliminado la circunferencia inicial.
Para terminar este post, os dejo la foto del monumento dedicado a Gauss en Brunswick (Alemania)
Fuentes:
http://gaussianos.com
http://www.w-volk.de/museum/monum11.htm
http://www.geothesis.com
Bueno, pues aquí os dejo los ejercicios que teneis que hacer para poder optar a hacer los exámenes de recuperación que se realizarán los días 27 y 28 de Abril. Ya os especificaré en clase la fecha y la hora exacta.
Los ejercicios deberán ser entregados antes del examen, y deben estar presentados en folios en blanco, con los enunciados escritos (salvo los enunciados de los problemas del archivo pdf) y lo más ordenado y limpio posible.
Todos los ejercicios deben estar hechos a bolígrafo.
(Nota: Recuerdo que para descargar el archivo pdf, cuando hagáis click en el enlace teneis que darle al botón de "Free User" en la nueva página que os aparecerá, y tras esto hacer click en el botón azul con flecha "download")
3º ESO:
Pág 88: 27, 31, 34, 38, 42, 46.
Pág 124: 46, 49, 50, 62.
Pdf con 15 Problemas para resolver:
PROBLEMAS DE ECUACIONES Y SISTEMAS.
4º ESO:
Pág 74: 27, 30, 32
Pág 92: 32
Pág 56: 31, 33, 36, 38, 39, 43.
Pdf con 15 Problemas para resolver:
PROBLEMAS DE ECUACIONES Y SISTEMAS.
En el siguiente enlace he encontrado un pdf con varios ejercicios de progresiones que incluyen soluciones. De todos los que hay, los que recomiendo principalmente que hagáis son los siguientes:
PROGRESIONES ARITMÉTICAS
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 25, 29, 30
PROGRESIONES GEOMÉTRICAS
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 14, 15, 16, 26, 27, 32, 34, 35
