RADICALES (3º y 4º ESO)

En estas páginas teneis ejercicios de radicales por si quereis seguir practicando:

página 1

página 2 (pdf)

página 3 (pdf)

Ah, y feliz noche de Halloween!!!

El Hombre de Vitruvio

En clase os comenté algo sobre este dibujo de Leonardo da Vinci. Aquí os paso más información:

El Hombre de Vitruvio es un famoso dibujo acompañado de notas anatómicas de Leonardo da Vinci realizado alrededor del año 1492 en uno de sus diarios. Representa una figura masculina desnuda en dos posiciones sobreimpresas de brazos y piernas e inscrita en un círculo y un cuadrado. Se trata de un estudio de las proporciones del cuerpo humano, realizado a partir de los textos de arquitectura de Vitruvio, arquitecto de la antigua Roma, del cual el dibujo toma su nombre.

También se conoce como el Canon de las proporciones humanas.

El dibujo está realizado en lápiz y tinta y mide 34,2 x 24,5 cm. En la actualidad forma parte de la colección de la Galería de la Academia de Venecia.

El cuadrado está centrado en los genitales, y el círculo en el ombligo. La relación entre el lado del cuadrado y el radio del círculo es la razón áurea. Para Vitruvio el cuerpo humano está dividido en dos mitades por los órganos sexuales, mientras que el ombligo determina la sección áurea. En el recién nacido, el ombligo ocupa una posición media y con el crecimiento migra hasta su posición definitiva en el adulto.

De acuerdo con las notas del propio Leonardo en el Hombre de Vitruvio se dan otras relaciones:

* Una palma equivale al ancho de cuatro dedos.
* Un pie equivale al ancho de cuatro palmas (12 inch).
* Un antebrazo equivale al ancho de seis palmas.
* La altura de un hombre son cuatro antebrazos (24 palmas).
* Un paso es igual a un antebrazo.
* La longitud de los brazos extendidos (envergadura) de un hombre es igual a su altura.
* La distancia entre el nacimiento del pelo y la barbilla es un décimo de la altura de un hombre.
* La altura de la cabeza hasta la barbilla es un octavo de la altura de un hombre.
* La distancia entre el nacimiento del pelo a la parte superior del pecho es un séptimo de la altura de un hombre.
* La altura de la cabeza hasta el final de las costillas es un cuarto de la altura de un hombre.
* La anchura máxima de los hombros es un cuarto de la altura de un hombre.
* La distancia del codo al extremo de la mano es un quinto de la altura de un hombre.
* La distancia del codo a la axila es un octavo de la altura de un hombre.
* La longitud de la mano es un décimo de la altura de un hombre.
* La distancia de la barbilla a la nariz es un tercio de la longitud de la cara.
* La distancia entre el nacimiento del pelo y las cejas es un tercio de la longitud de la cara.
* La altura de la oreja es un tercio de la longitud de la cara.
* La distancia desde la planta del pie hasta debajo de la rodilla es la cuarta parte del hombre.
* La distancia desde debajo de la rodilla hasta el inicio de los genitales es la cuarta parte del hombre.
* El inicio de los genitales marca la mitad de la altura del hombre..

El redescubrimiento de las proporciones matemáticas del cuerpo humano en el siglo XV por Leonardo y otros autores, está considerado uno de los grandes logros del Renacimiento.

El dibujo también es a menudo considerado como un símbolo de la simetría básica del cuerpo humano y, por extensión, del universo en su conjunto.

Examinando el dibujo puede notarse que la combinación de las posiciones de los brazos y piernas crea realmente dieciséis posiciones distintas. La posición con los brazos en cruz y los pies juntos se ve inscrita en el cuadrado sobreimpreso. Por otra parte, la posición superior de los brazos y las dos de las piernas se ve inscrita en el círculo sobreimpreso. Esto ilustra el principio de que en el cambio entre las dos posiciones, el centro aparente de la figura parece moverse, pero en realidad el ombligo de la figura, que es el centro de gravedad verdadero, permanece inmóvil.

Este dibujo aparece en el reverso de la moneda de euro de Italia.

Fuente: Wikipedia.

Y por último, os presento una versión alternativa del dibujo:

PI

... y muuuuchos más

Recordando a Poe en una Gris tarde de Sábado

EL CUERVO

Una vez, al filo de una lúgubre media noche,
mientras débil y cansado, en tristes reflexiones embebido,
inclinado sobre un viejo y raro libro de olvidada ciencia,
cabeceando, casi dormido,
oyóse de súbito un leve golpe,
como si suavemente tocaran,
tocaran a la puerta de mi cuarto.
“Es —dije musitando— un visitante
tocando quedo a la puerta de mi cuarto.
Eso es todo, y nada más.”

¡Ah! aquel lúcido recuerdo
de un gélido diciembre;
espectros de brasas moribundas
reflejadas en el suelo;
angustia del deseo del nuevo día;
en vano encareciendo a mis libros
dieran tregua a mi dolor.
Dolor por la pérdida de Leonora, la única,
virgen radiante, Leonora por los ángeles llamada.
Aquí ya sin nombre, para siempre.

Y el crujir triste, vago, escalofriante
de la seda de las cortinas rojas
llenábame de fantásticos terrores
jamás antes sentidos. Y ahora aquí, en pie,
acallando el latido de mi corazón,
vuelvo a repetir:
“Es un visitante a la puerta de mi cuarto
queriendo entrar. Algún visitante
que a deshora a mi cuarto quiere entrar.
Eso es todo, y nada más.”

Ahora, mi ánimo cobraba bríos,
y ya sin titubeos:
“Señor —dije— o señora, en verdad vuestro perdón
imploro,
mas el caso es que, adormilado
cuando vinisteis a tocar quedamente,
tan quedo vinisteis a llamar,
a llamar a la puerta de mi cuarto,
que apenas pude creer que os oía.”
Y entonces abrí de par en par la puerta:
Oscuridad, y nada más.

Escrutando hondo en aquella negrura
permanecí largo rato, atónito, temeroso,
dudando, soñando sueños que ningún mortal
se haya atrevido jamás a soñar.
Mas en el silencio insondable la quietud callaba,
y la única palabra ahí proferida
era el balbuceo de un nombre: “¿Leonora?”
Lo pronuncié en un susurro, y el eco
lo devolvió en un murmullo: “¡Leonora!”
Apenas esto fue, y nada más.

Vuelto a mi cuarto, mi alma toda,
toda mi alma abrasándose dentro de mí,
no tardé en oír de nuevo tocar con mayor fuerza.
“Ciertamente —me dije—, ciertamente
algo sucede en la reja de mi ventana.
Dejad, pues, que vea lo que sucede allí,
y así penetrar pueda en el misterio.
Dejad que a mi corazón llegue un momento el silencio,
y así penetrar pueda en el misterio.”
¡Es el viento, y nada más!

De un golpe abrí la puerta,
y con suave batir de alas, entró
un majestuoso cuervo
de los santos días idos.
Sin asomos de reverencia,
ni un instante quedo;
y con aires de gran señor o de gran dama
fue a posarse en el busto de Palas,
sobre el dintel de mi puerta.
Posado, inmóvil, y nada más.

Entonces, este pájaro de ébano
cambió mis tristes fantasías en una sonrisa
con el grave y severo decoro
del aspecto de que se revestía.
“Aun con tu cresta cercenada y mocha —le dije—,
no serás un cobarde,
hórrido cuervo vetusto y amenazador.
Evadido de la ribera nocturna.
¡Dime cuál es tu nombre en la ribera de la Noche Plutónica!”
Y el Cuervo dijo: “Nunca más.”

Cuánto me asombró que pájaro tan desgarbado
pudiera hablar tan claramente;
aunque poco significaba su respuesta.
Poco pertinente era. Pues no podemos
sino concordar en que ningún ser humano
ha sido antes bendecido con la visión de un pájaro
posado sobre el dintel de su puerta,
pájaro o bestia, posado en el busto esculpido
de Palas en el dintel de su puerta
con semejante nombre: “Nunca más.”

Mas el Cuervo, posado solitario en el sereno busto.
las palabras pronunció, como virtiendo
su alma sólo en esas palabras.
Nada más dijo entonces;
no movió ni una pluma.
Y entonces yo me dije, apenas murmurando:
“Otros amigos se han ido antes;
mañana él también me dejará,
como me abandonaron mis esperanzas.”
Y entonces dijo el pájaro: “Nunca más.”

Sobrecogido al romper el silencio
tan idóneas palabras,
“sin duda —pensé—, sin duda lo que dice
es todo lo que sabe, su solo repertorio, aprendido
de un amo infortunado a quien desastre impío
persiguió, acosó sin dar tregua
hasta que su cantinela sólo tuvo un sentido,
hasta que las endechas de su esperanza
llevaron sólo esa carga melancólica
de ‘Nunca, nunca más’.”

Mas el Cuervo arrancó todavía
de mis tristes fantasías una sonrisa;
acerqué un mullido asiento
frente al pájaro, el busto y la puerta;
y entonces, hundiéndome en el terciopelo,
empecé a enlazar una fantasía con otra,
pensando en lo que este ominoso pájaro de antaño,
lo que este torvo, desgarbado, hórrido,
flaco y ominoso pájaro de antaño
quería decir granzando: “Nunca más.”

En esto cavilaba, sentado, sin pronunciar palabra,
frente al ave cuyos ojos, como-tizones encendidos,
quemaban hasta el fondo de mi pecho.
Esto y más, sentado, adivinaba,
con la cabeza reclinada
en el aterciopelado forro del cojín
acariciado por la luz de la lámpara;
en el forro de terciopelo violeta
acariciado por la luz de la lámpara
¡que ella no oprimiría, ¡ay!, nunca más!

Entonces me pareció que el aire
se tornaba más denso, perfumado
por invisible incensario mecido por serafines
cuyas pisadas tintineaban en el piso alfombrado.
“¡Miserable —dije—, tu Dios te ha concedido,
por estos ángeles te ha otorgado una tregua,
tregua de nepente de tus recuerdos de Leonora!
¡Apura, oh, apura este dulce nepente
y olvida a tu ausente Leonora!”
Y el Cuervo dijo: “Nunca más.”

“¡Profeta!” —exclamé—, ¡cosa diabolica!
¡Profeta, sí, seas pájaro o demonio
enviado por el Tentador, o arrojado
por la tempestad a este refugio desolado e impávido,
a esta desértica tierra encantada,
a este hogar hechizado por el horror!
Profeta, dime, en verdad te lo imploro,
¿hay, dime, hay bálsamo en Galaad?
¡Dime, dime, te imploro!”
Y el cuervo dijo: “Nunca más.”

“¡Profeta! —exclamé—, ¡cosa diabólica!
¡Profeta, sí, seas pájaro o demonio!
¡Por ese cielo que se curva sobre nuestras cabezas,
ese Dios que adoramos tú y yo,
dile a esta alma abrumada de penas si en el remoto Edén
tendrá en sus brazos a una santa doncella
llamada por los ángeles Leonora,
tendrá en sus brazos a una rara y radiante virgen
llamada por los ángeles Leonora!”
Y el cuervo dijo: “Nunca más.”

“¡Sea esa palabra nuestra señal de partida
pájaro o espíritu maligno! —le grité presuntuoso.
¡Vuelve a la tempestad, a la ribera de la Noche Plutónica.
No dejes pluma negra alguna, prenda de la mentira
que profirió tu espíritu!
Deja mi soledad intacta.
Abandona el busto del dintel de mi puerta.
Aparta tu pico de mi corazón
y tu figura del dintel de mi puerta.
Y el Cuervo dijo: “Nunca más.”

Y el Cuervo nunca emprendió el vuelo.
Aún sigue posado, aún sigue posado
en el pálido busto de Palas.
en el dintel de la puerta de mi cuarto.
Y sus ojos tienen la apariencia
de los de un demonio que está soñando.
Y la luz de la lámpara que sobre él se derrama
tiende en el suelo su sombra. Y mi alma,
del fondo de esa sombra que flota sobre el suelo,
no podrá liberarse. ¡Nunca más!

Soluciones Ejercicios Tema 1 (3º ESO)

Como no nos dará tiempo de corregir todos en clase, os cuelgo en este post la solución a los ejercicios que mandé sobre el tema de Números Racionales:


SOLUCIONES TEMA 1: Números Racionales.

Páginas 20 y 21 del libro:

34.- a) 1/6 b) 9/14

35.- a) x = 135
b) x = 17
c) x = 402
d) x = 450

36.- a=39 b= 56 c=117 d=7

37.- a) 11/4, b) 19/30, c) 10/3, d) -5/2, e) 20/21, f) 1/16

38.- a) 4/5, b) 17/6

39.- a) 1/9, 1/8, 1/7
b) ¾, 4/5, 6/7
c) -3/9, 6/5, 9/7


40.- a) 1/5, b) 2/3, c) 13/21, d) 6

41.- a) 19/5, b) 1/6, c) 77/60, d) -127/30

42.- 13/60

43.- 14/42 = 2/6

46.- a) 412/9, b) 122/99, c) 154/45, d) 59/110

58.- 5/12

60.- a) 5/28, b) 1/10, c) 1/7, d) 1/1440, e) 1/1200, f) 1/100000

63.- V F V F F

Los Primos de Mersenne

En este post no voy a hablar claro está de los hijos de los tíos del filósofo Mersenne (chiste malo, ya lo sé, lo siento mucho XD) sino de los números primos que llevan su nombre.

Se le llama primo de Mersenne a un número primo de la forma 2^n - 1.

Muchos autores antiguos pensaron que los números de la forma 2^n - 1 eran primos para todos los n primos, pero en 1536 Hudalricus Regius demostró que 2^11 - 1 = 2047 no era primo (es igual a 23x89).
Posteriormente se verificó que 2^n - 1 era primo para n = 17, 19 y 31, y que no era primo para n = 23, 29 y 37.

A fecha de hoy, sólo se conocen 46 números primos de Mersenne, siendo el mayor de ellos 2^43.112.609−1, un número de casi trece millones de cifras. El número primo más grande que se conocía en una fecha dada casi siempre ha sido un número primo de Mersenne: desde que empezó la era electrónica en 1951 siempre ha sido así salvo en 1951 y entre 1989 y 1992.

No se sabe si existen infinitos primos de Mersenne.

En vuestra wikipedia más cercana, teneis los 46 números primos de Mersenne conocidos hasta la fecha (en los últimos por motivos de espacio sólo aparecen las primeras y las últimas cifras):

http://es.wikipedia.org/wiki/Número_primo_de_Mersenne


Y en este enlace podeis encontrar el primo de Mersenne más grande conocido hasta la fecha. Una cosa: si no teneis un ordenador suficientemente potente ni intenteis abrirlo. El número es gigantesco y os va a tardar un rato largo en cargar. Eso sí, si lo abrís probablemente veais el número más monstruosamente grande que hayais visto jamás.

Último primo de Mersenne conocido

Un video sobre sumas y potencias de fracciones

Aquí teneis un video en el que un señor os explica cómo realizar unas operaciones combinadas con fracciones.

A veces el hombre patina un poquillo, como cuando explica por qué un número elevado a -1, es 1 partido de dicho número: "porque alguien lo dijo así" XD . Realmente el motivo es que si una potencia con exponente positivo expresa una multiplicación, lo lógico es que una potencia con exponente negativo exprese una división :P

De todos modos, a pesar de algunos momentos un poco humorísticos (genial el momento "esto se hace en un papel aparte que no hay ninguna ley que prohiba hacer las cosas en un papelito aparte") os puede servir para repasar cómo se hace este tipo de ejercicios, que nunca está de más. Y la verdad es que el hombre explica las operaciones muy muy bien.(Aunque no se dé cuenta de que al final, la fracción resultante se puede simplificar claramente entre 3, ¿lo veis?)

Qué leer: Canción de Hielo y Fuego

Estos días estoy dedicando parte de mis tardes en la lectura del tercer libro de la saga de Canción de Hielo y Fuego. Su título es Tormenta de Espadas y ciertamente estoy disfrutando bastante de su lectura. Es por eso que me he animado a recomendar desde este blog esta saga de George R.R. Martin.

La acción transcurre en Invernalia, un país en el que los inviernos y los veranos se prolongan durante meses, e incluso años. El primer libro nos coloca al final de un verano que va a dar lugar a un invierno crudo y largo. La saga nos presenta a un sinfín de familas protagonistas a cual más interesante: La familia Stark con su hijo bastardo Jon Nieve, los Lannister con uno de los mejores personajes que he tenido el placer de leer: Tyrion Lannister, los Baratheon, Greyjoy, Tully, los dragones Targaryen... todos envueltos en una trama de intrigas palaciegas de proporciones épicas.

Es un libro en el que los personajes sufren, aman y odian, son extremadamente reales, algo extraño en este tipo de literatura, digamos, fantástica. Pero ojo, no vayan a encariñarse mucho con alguno de ellos, puesto que el autor es capaz de sacrificar a tu personaje preferido sin pestañear.

Si les ha picado el gusanillo no lo duden, háganse con el primer título de la saga: Juego de Tronos, y luego me cuentan.

Más ejercicios de Fracciones (3º y 4º ESO)

Por si teneis pocos con los ejercicios que hacemos en clase, aquí os dejo unos enlaces donde podeis seguir sumando, restando, multiplicando y haciendo problemas de fracciones, que yo sé que en el fondo os mola cantidad:

http://www.vadenumeros.es/tercero/problemas-con-fracciones.htm

http://covadongcr.googlepages.com/

Tambien os paso la página con la unidad didáctica sobre fracciones que propone el programa Descartes, que es muy interesante y entretenida puesto que podeis trabajar con ella directamente desde el ordenador:

UNIDAD DIDACTICA FRACCIONES BY DESCARTES (operaciones con fracciones)
UNIDAD DIDACTICA FRACCIONES BY DESCARTES (representación en la recta)


PD: Si quereis saber más sobre el hombre que da nombre al teorema de Thales, teneis información en este mismo blog: