El Heptadecágno Regular y Gauss

Cuando Gauss tenía diecinueve años todavía dudaba entre sus dos grandes pasiones: la filología o las matemáticas. Lo que hizo que se decantara por ésta última fue su descubrimiento de que al contrario de lo que pensaba todo el mundo por aquel entonces, se podía construir el polígono regular de 17 lados de forma exacta con regla y compás. Es más, dio con una regla que permitía saber cuándo se podía construir de forma exacta un polígono regular según un número de lados cualquiera.

Según las palabras de Gauss: "Fue el día 29 de marzo de 1796, durante unas vacaciones en Brunswick, y la casualidad no tuvo la menor participación en ello ya que fue fruto de esforzadas meditaciones; en la mañana del citado día, antes de levantarme de la cama, tuve la suerte de ver con la mayor claridad toda esta correlación, de forma que en el mismo sitio e inmediatamente apliqué al heptadecágono la correspondiente confirmación numérica."

Aquí os detallo cómo construir esta asombrosa figura:

Parte 1

Partimos de un eje de coordenadas con centro O y otro punto en el eje X al que llamamos A. Trazamos circunferencia c de centro O y radio OA. Llamamos B al punto de corte de esa circunferencia con la parte positiva del eje Y y trazamos circunferencia de centro B y radio OB. Esta circunferencia corta a c en dos puntos a los que llamamamos C y D. Trazamos el segmento CD que corta al eje Y en un punto al que llamamos E. Las figuras construidas en este paso están en color negro.






Parte 2

Trazamos las circunferencias de radio OE que tienen sus centros en O y en E. Llamamos a los dos puntos de corte entre ellas F y G. Trazamos el segmento FG que corta al eje Y en un punto al que llamamos H. Trazamos ahora la bisectriz del ángulo AHO y después la bisectriz de ella con el eje Y. Llamamos I a la intersección de esta última bisectriz con el eje X. Las figuras construidas en este paso están en color azul.




Parte 3

Trazamos la perpendicular al segmento HI que pasa por el punto H y después la bisectriz de esta recta con la recta que pasa por H y por I. Llamamos J al punto de corte con el eje X. Construimos el punto medio del segmento AJ y lo llamamos K. Trazamos la circunferencia de centro K y radio KA. Llamamos L al punto de corte de esta circunferencia con la parte superior del eje Y. Las figuras construidas en este paso están en color verde.





Parte 4

Trazamos la circunferencia de centro I y radio IL y llamamos M y N a los puntos de corte de la misma con el eje X (nótese que N queda muy cerca de K, pero no son el mismo punto). Trazamos las perpendiculares al eje X que pasan por M y por N. Estas perpendiculares cortan a la circunferencia inicial c en P y Q, que son dos de los vértices del heptadecágono. Trazamos la bisetriz del ángulo POQ que corta a la circunferencia inicial c en el punto R, que es también uno de los vértices del heptadecágono. De hecho la longitud de cada uno de los lados es tanto la distancia PR como la distancia RQ. Trasladando esta distancia por la circunferencia inicial las veces necesarias obtenemos los vértices que nos faltan. Las figuras construidas en este paso están en color rojo.




Final

Uniendo todos los vértices obtenidos llegamos a la construcción del heptadecágono. Para que se vea mejor he eliminado la circunferencia inicial.






Para terminar este post, os dejo la foto del monumento dedicado a Gauss en Brunswick (Alemania)




Fuentes:
http://gaussianos.com
http://www.w-volk.de/museum/monum11.htm
http://www.geothesis.com