Fibonacci y sus conejos.

Leonardo de Pisa o Leonardo Pisano o Leonardo Bigollo (c. 1170 - 1250), también llamado Fibonacci, fue un matemático italiano, famoso por la invención de la sucesión de Fibonacci, surgida como consecuencia del estudio del crecimiento de las poblaciones de conejos, y por su papel en la popularización del sistema de numeración posicional en base 10 (o decimal) en Europa.

El apodo del padre de Leonardo, era Bonacci (simple o bien intencionado). Leonardo recibió póstumamente el apodo de Fibonacci ( por filius Bonacci, hijo de Bonacci). Guiglielmo dirigía un puesto de comercio en Bugía (según algunas versiones era el cónsul de Pisa), en el norte de África (hoy Bejaia, Argelia), y de niño Leonardo viajo allí para ayudarlo. Allí aprendió el sistema de numeración árabe.

Consciente de la superioridad de los numerales árabes, Fibonacci viajó a través de los países del Mediterráneo para estudiar con los matemáticos árabes más destacados de ese tiempo, regresando cerca de 1200. En 1202, a los 32 años de edad, publicó lo que había aprendido en el Liber Abaci (libro del ábaco o libro de los cálculos). Este libro mostró la importancia del nuevo sistema de numeración aplicándolo a la contabilidad comercial, conversión de pesos y medidas, cálculo, intereses, cambio de moneda, y otras numerosas aplicaciones. En estas páginas describe el cero, la numeración de posición, la descomposición en factores primos, los criterios de divisibilidad. El libro fue recibido con entusiasmo en la Europa ilustrada, y tuvo un impacto profundo en el pensamiento matemático europeo.

Respecto a la famosa serie que lleva su nombre, y que ya hemos mencionada más arriba podemos basarnos en la siguiente idea para explicarla:

Supongamos que tenemos dos conejos pequeños, macho y hembra. Partimos de las siguientes premisas:

1. Los conejos alcanzan la madurez sexual a la edad de un mes.
2. En cuanto alcanzan la madurez sexual los conejos se aparean y siempre resulta preñada la hembra.
3. El periodo de gestación de los conejos es de un mes.
4. Los conejos no mueren.
5. La hembra siempre da a luz una pareja de conejos de sexos opuestos.
6. Los conejos tienen una moral y un instinto de variedad genética muy relajados y se aparean entre parientes.

El proceso de crecimiento de la población de conejos está claramente descrito en la siguiente ilustración:




Como se puede observar, la serie de Fibonacci contará cuántas parejas de conejos hay cada mes. De manera que tendremos los siguientes términos:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ...

Es fácil constatar que cada término, a partir del tercero, se obtiene como la suma de los dos términos inmediatamente anteriores.

Esta serie de números presenta una gran curiosidad encerrada en ella, y es que si calculáramos el límite de la sucesión formada por el cociente de un término de la sucesión partido del término anterior, (es decir: 1/1, 2/1, 3/2, 5/3, 8/5, 13/8, ...)es exactamente el número de oro, la razón áurea de la que ya hemos hablado con anterioridad en este blog. Una de las múltiples curiosidades matemáticas que tan interesantes y apasionantes hacen a esta materia.

Para fuentes y ampliación de información, visiten:

http://www.interactiva.matem.unam.mx/aurea/html/conejos.html
http://es.wikipedia.org/wiki/Sucesi%C3%B3n_de_Fibonacci
http://www.formacion.cnice.mec.es/web_espiral/naturaleza/vegetal/fibonacci/fibonacci.htm

Fermat y su Ultimo Teorema.

(Beaumont-de-Lomagne, Francia, 17 de agosto de 1601 - Castres, Francia, 12 de enero de 1665), Pierre de Fermat fue un jurista y destacado matemático. Fue abogado en el Parlamento de Toulouse, en el sur de Francia, y matemático clave para el desarrollo del cálculo moderno. También hizo notables contribuciones a la geometría analítica.

Fermat es mejor conocido por su Enigma, una abstracción del Teorema de Pitágoras, también conocido como Último Teorema de Fermat, que torturó a los matemáticos durante aproximadamente 350 años, hasta que fue resuelto en 1995. Junto con René Descartes, Fermat fue uno de los líderes matemáticos de la primera mitad del siglo XVII. Independientemente de Descartes, descubrió el principio fundamental de la geometría analítica. A través de su correspondencia con Blaise Pascal, fue co-fundador de la teoría de probabilidades.

Fermat nació el 17 de agosto de 1601 en Beaumont-de-Lomagne, una ciudad situada a 58 kilómetros al noroeste de Toulouse, Francia. La mansión del siglo XV donde nació es en la actualidad un museo. La escuela más antigua y prestigiosa de Toulouse se llama Pierre de Fermat y en ella se imparten clases de ingeniería y comercio. Está situada entre las diez mejores de Francia para clases preparatorias.

El Último Teorema de Fermat afirma que la ecuación

no tiene soluciones enteras para n>2. Fermat afirma que tenía una demostración, pero se exime de darla argumentado que el márgen es demasiado estrecho como para dárnosla.

Obviamente, la ecuación presenta soluciones para n=1 y para n=2 (como por ejemplo, tomando x = 3, y = 4, z = 5).

Si quieren saber más sobre la demostración de la no existencia de soluciones enteras para n>2 les recomiendo los siguientes enlaces:

http://www.ciencia.cl/CienciaAlDia/volumen2/numero1/articulos/articulo1.html

http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Fermat's_last_theorem.html

Yo la pondría aquí, de hecho he descubierto una demostración maravillosa de esta afirmación. Pero este post es demasiado angosto para contenerla.


Fuentes:

http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%9Altimo_teorema_de_Fermat
http://www.mat.usach.cl/histmat/html/ferm.html

2007 en cines

Bueno, pues a falta de un día para acabar este año, me gustaría recopilar por aquí las películas que he tenido la suerte (o la desgracia) de ver en una butaca de cine. Se las pongo en una lista con unas frasecillas describiéndolas:


EL PRESTIGIO : A esto se le llama empezar bien el año. Peliculón que nos trajo el señor Nolan con una actuación sobresaliente de Christian Bale. Muy recomendable.

EL MOTORISTA FANTASMA : Una de las peores películas basadas en un cómic que se puedan encontrar. Si se la cruzan en un videoclub huyan de ella.

EL BUEN ALEMÁN: Película bastante aburrida que pretendía parecerse a los grandes clásicos sin conseguirlo.

UN PUENTE HACIA TERABITHIA: No está mal para verla en una tarde aburrida de domingo. Tiene un final bastante sorprendente y emotivo.

300: La mejor película del año, al menos la más rompedora e impactante. No me canso de verla, un ejemplo de cómo trasladar un cómic a la gran pantalla.



LA VIDA DE LOS OTROS: Emotiva película que ganó el oscar a la mejor película extranjera este año. Recomendable, aunque a veces se hace algo pesadita.

LA FUENTE DE LA VIDA: Una rayada sin mucho interés. Esta vez Aronofsky no me convenció.

SPIDERMAN 3: Un excelente entretenimiento, que aunque flojea en su parte final cierra la trilogía de modo más que digno.

PIRATAS DEL CARIBE: EN EL FIN DEL MUNDO: He visto la peli ya unas cuantas veces, y depende del momento se me hace más llevadera o más pesada. Digamos que no está mal, pero que le sobra bastante metraje.

INLAND EMPIRE: Qué decir, ya hice una reseña de ella nada más verla. Sólo para mentes abiertas dispuestas a sumergirse en el particular y peculiar mundo de David Lynch.

ZODIAC: Una de las sorpresas del año; película sobresaliente del director de Seven y el Club de la Lucha. Muy recomendable.

SHREK TERCERO: La peor de la saga con diferencia; un auténtico despropósito con un final lamentable.

TRANSFORMERS: Otra agradable sorpresa, el infame director Michael Bay nos ofrece un producto de calidad, con muchos toques Spielbergianos (no en vano es el productor de la película) y en el que sobresale un chaval que seguramente nos dará muchas alegrías interpretativas en el futuro - acompañará a Harrison Ford en su nueva aventura en 2008: Shia LaBeouf



HARRY POTTER Y LA ORDEN DEL FÉNIX: Una de las mejores de la saga hasta el momento. Después de la terrible Harry Potter y el Cáliz de Fuego, las aventuras del mago vuelven a suscitar mi interés, y espero con ganas la nueva entrega.

LOS SIMPSON: LA PELÍCULA: Pequeña decepción. Es obvio que era imposible que la película alcanzara el nivel de la serie en sus mejores tiempos, pero uno siempre espera con ilusión algo grande de esta gente. De todos modos, no está mal y seguro que si la ven se echan unas buenas risas.

RATATOUILLE: La elegancia hecha película; Brad Bird nos brinda una nueva obra maestra del cine de animación. Junto con 300, lo mejor del año.





PLANET TERROR: La mejor peli para ver una noche de juerga con los colegas. Una gamberrada que, aunque no supera a Abierto hasta el Amanecer estoy seguro de que gustará a todos los que disfrutaron viendo a George Clooney matar vampiros en la Teta Enroscada.




STARDUST: Otra muy agradable sorpresa. Desde los tiempos de la Princesa Prometida o Dentro del Laberinto no tenia la sensación de estar viviendo en un cuento de hadas con brujas y seres extraordinarios. Y Michelle Pfeiffer está impresionante en su papel. Muy recomendable.

RESIDENT EVIL 3: Una película carente de interés. Simplemente mala.

REC: Supongo que gustará sobre todo a las nuevas generaciones que estén empezando a descubrir el cine de terror. Los más viejos del lugar ya hemos visto miles de veces los sustos que nos presenta esta película, que más que película se diría que es una atracción de feria tipo "la casa del terror".

Y bueno, pues esto es lo que hay. Espero que el año que viene el cine nos traiga cosas mejores, porque este año salvo dos o tres excepciones, ha sido bastante mediocre.


Mis más esperadas a fecha de hoy son Indiana Jones 4 y The Dark Knight. Espero que no me decepcionen.

Colossus (un poquito de publicidad, si me permiten)

Bueno, les quiero presentar una nueva banda nacida en el Reino Unido, que, aunque todavía no tiene ningún disco en la calle creo que está llamada a hacer grandes cosas en un futuro no muy lejano. La componen tres chavales (dos ingleses y un español - portuense para más señas) que están poniendo en ella toda su ilusión y energía. En su página de myspace pueden encontrar varias de sus canciones. Espero que les guste y que le den una oportunidad:

Visita Colossus the Band

Dos chicos y una moto, de Pérez Reverte

Me encanta Pérez Reverte. Bueno, mejor dicho me encanta cómo escribe, cómo es capaz de atrapar tu atención y conseguir emocionarte, o divertirte, o ponerte de mala leche. Cosas de las que sólo son capaces los grandes escritores, y en este caso creo que estamos ante uno de ellos. Todos los domingos me leo su columna en el XlSemanal mientras me tomo mi café matutino, y es sin duda, uno de los mejores momentos de la semana. El de esta semana me ha gustado especialmente, un canto a la juventud, y recomiendo a todos mis alumnos que lo lean. Os lo copio aquí, y ya sabeis, si no podeis tener acceso a la revista, en esta página podeis encontrar todos los artículos de este pedazo de escritor.


------------------------------------------------------------------------------------
Es de noche y llueve desde hace unos minutos sobre la sinuosa carretera de Madrid al Escorial. Clap, clap, clap, hacen los limpiaparabrisas mientras conduzco con precaución. Es sábado por la noche, el tráfico de subida hacia la sierra es intenso, y las gotas de agua y el asfalto mojado reflejan destellos de faros. Al salir de una curva, los míos iluminan a dos chicos jóvenes montados en una motillo. Van inclinados hacia delante bajo la lluvia, con los cascos puestos y pegados al lado derecho de la carretera, mientras los coches pasan cerca, salpicándolos con turbonadas de agua. Es zona de urbanizaciones, la moto es pequeña, y al dar la luz larga confirmo que los chicos deben de tener diecisiete o dieciocho años y no van equipados para la carretera. Se trata, deduzco, de dos muchachos haciendo un trayecto corto. Seguramente viven en las cercanías y se dirigen a casa de un amigo, o a uno de los multicines o complejos recreativos próximos. El aguacero los sorprendió subiendo el puerto, y avanzan lo mejor que pueden, pegado el que va de paquete a la espalda del compañero, con la resolución insensata y valerosa de su extrema juventud. Jugándose literalmente la vida a las diez de la noche, a oscuras en una carretera, bajo la lluvia, para llegar a tiempo a la cita con los compañeros de clase, la pandilla de amigos –palabra mágica– o el par de chicas con las que están citados en la hamburguesería o el cine. Y mientras, disponiéndome a adelantarlos, pongo el intermitente a la izquierda para advertir de su presencia a los coches que vienen detrás de mí, pienso que no me gustaría ser hoy la madre o el padre que vieron salir a esos chicos de casa, oyeron el tubo de escape de la moto alejándose, y ahora escuchan golpear la lluvia en los cristales.

Sin duda me hago viejo, pienso. Demasiado. Por alguna extraña razón, esos dos muchachos en la motillo, tozudamente inclinados hacia delante bajo la lluvia, me remueven los adentros. Hace demasiado tiempo que dejé atrás líneas de sombra y demás parafernalia moza; pero aún recuerdo lo que puede sentirse a lomos de una moto que avanza trazando curvas en la oscuridad, impulsado, como esa pareja de frágiles jinetes nocturnos, por la amistad, el amor, el deseo de aventura, la irreflexiva osadía de la juventud firme, arriesgada, segura. Y es noche de sábado, nada menos. El tiempo que hay por delante está preñado de promesas. No hay lluvia, ni carretera negra, ni turbonadas de agua pulverizada al paso de coches indiferentes que enfríe el entusiasmo de dos jóvenes de diecipocos años que cabalgan resueltos a zambullirse expectantes, gozosos, en cuanto los aguarda. En la plena vida. Tal vez, mientras la lluvia azota las viseras bajadas de sus cascos y el agua les empapa cazadoras y pantalones, presienten la música que oirán dentro de un rato, oyen la risa leal de los amigos, ven ante sí los ojos de muchachas que esta noche los mirarán a los ojos para confirmarles que el mundo es un lugar maravilloso. Quizá porque van al encuentro de todo eso los dos chicos siguen adelante sin arredrarse, con su pequeña moto. Son jóvenes, sufridos, valientes. Y se creen eternos. Inmortales.

Mientras paso a su lado, adelantándolos entre turbonadas de lluvia, los miro de soslayo y les deseo suerte. Ojalá, pareja de impávidos pardillos, lleguéis sanos y salvos allí a donde os dirijáis, y el calor de los amigos os seque las ropas mojadas, la piel fría y las manos heladas. Que valga la pena lo que estáis pasando. Que la hamburguesa esté en su punto, la cocacola lo bastante fría, las palomitas crujan, la película sea tan buena como os dijeron, la chica sonría como esperáis y se deje besar esta noche por fin, o bien os acometa y bese ella, que tanto monta. Que podáis volver a casa sobre un asfalto seco y con la gasolina suficiente para que la motillo no os deje tirados, y que los padres que ahora miran angustiados el reloj sientan el inmenso alivio de oír abrirse la puerta de la calle o vuestros pasos en el pasillo al regresar. Que todo eso os pertenezca para siempre, y que esta valerosa determinación, dos muchachos solos en la noche subiendo un puerto peligroso, inclinados tenazmente bajo la lluvia, no os abandone nunca en otras carreteras. Amén.

Con tales pensamientos termino de adelantar, pongo el intermitente a la derecha y sigo adelante mientras queda atrás, en el retrovisor, el faro solitario de la pequeña moto. Dos chicos irresponsables, tontos y valientes, me digo perdiéndolos de vista. Ojalá lleguen a donde van. Ojalá lleguen todos.
-------------------------------------------------------------------------------------

Tartaglia y su Triángulo

Niccolo Fontana (1500 - 13 de diciembre 1557), matemático italiano apodado Tartaglia (el tartamudo) desde que de niño recibió una herida en la toma de su ciudad natal, Brescia, por Gastón de Foix. Huérfano y sin medios materiales para proveerse una instrucción, llegó a ser uno de los principales matemáticos del siglo XVI. Explicó esta ciencia sucesivamente en Verona, Vicenza, Brescia y finalmente Venecia, ciudad en la que falleció en 1557 en la misma pobreza que le acompañó toda su vida. Se cuenta que Tartaglia sólo aprendió la mitad del alfabeto de un tutor privado antes de que el dinero se agotara, y posteriormente tuvo que aprender el resto por su cuenta. Sea como sea, su aprendizaje fue esencialmente autodidacto.

Descubridor de un método para resolver ecuaciones de tercer grado, estando ya en Venecia, en 1535 su colega del Fiore discípulo de Scipione del Ferro de quien había recibido la formula para resolver las ecuaciones cúbicas, le propone un duelo matemático que Tartaglia acepta. A partir de este duelo y en su afán de ganarlo Tartaglia desarrolla la fórmula general para resolver las ecuaciones de tercer grado. Por lo que, consigue resolver todas las cuestiones que le plantea su contrincante, sin que éste logre resolver ninguna de las propuestas por Tartaglia.

El éxito de Tartaglia en el duelo llega a oídos de Gerolamo Cardano que le ruega que le comunique su fórmula, a lo que accede pero exigiéndole a Cardano jurar que no la publicará. Sin embargo, en vista de que Tarataglia no publica su fórmula, y que según parece llega a manos de Cardano un escrito inédito de otro matemático fechado con anterioridad al de Tartaglia y en el que independiente se llega al mismo resultado, será finalmente Cardano quien, considerándose libre del juramento, la publique en su obra Ars Magna (1570). A pesar de que Cardano acreditó la autoría de Tartaglia, éste quedó profundamente afectado, llegando a insultar públicamente a Cardano tanto personal como profesionalmente. Las fórmulas de Tartaglia serán conocidas como fórmulas de Cardano.

Quizás lo que más famoso ha hecho a este matemático es el conocido triángulo de números que lleva su nombre, a pesar de que también se conoce como Triángulo de Pascal:



En él, cada número resulta de sumar los dos que haya en su extremo superior izquierdo y en su extremo superior derecho.

El Triángulo de Tartaglia está relacionado con los números combinatorios y con el desarrollo de las potencias de un binomio, como por ejemplo se puede apreciar aquí (los coeficientes del polinomio resultante coinciden con la fila n=4 del triángulo):




Así que ya saben, ya no tienen excusa para calcular "fácilmente" cualquier potencia de un binomio.


PD: El triángulo de Tartaglia encierra otras muchas propiedades curiosas, algunas de las cuales podéis ver aquí.


Fuente:

http://es.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A1ngulo_de_Pascal

http://es.wikipedia.org/wiki/Niccol%C3%B2_Fontana_Tartaglia

http://es.geocities.com/matesbueno/articulos/el_triangulo_de_tartaglia.htm

Qué leer: EL HOBBIT

Recientemente Santa Claus tuvo la amabilidad de regalarme la edición especial limitada de El Hobbit, primer libro en el que el maestro Tolkien nos presenta a unos asombrosos seres, que aun siendo por naturaleza apacibles y tranquilos, esconden en su interior un asombrosa valentía y coraje. En este libro se relatan las primeras aventuras de Bilbo Bolsón, y su primer encuentro con el gran mago Gandalf. No les quiero revelar nada más, tan sólo quería decirles que creo que es un libro de lectura obligatoria, junto a su hermano mayor, El Señor de los Anillos, que sigue siendo mi libro favorito.

Así que ya saben, si no saben qué regalar estas navidades, yo les aconsejo que regalen todo un universo fantástico, y unos personajes que una vez los conozcan, les acompañarán para el resto de sus vidas.

Miguel Ángel Buonarroti: El Genio.

Os presento hoy a un artista excepcional, y del que he tenido la suerte de disfrutar de su escultura y de su pintura in situ. Uno de los artistas más importantes del Renacimiento, y al que la revista Xlsemanal le dedica un artículo muy interesante esta semana. Bueno, más concretamente se lo dedica a La Capilla Sixtina, una de las obras artísticas más impresionantes y más importantes de toda la historia de la Humanidad.

Desde aquí recomiendo que no se pierdan el reportaje, y si están interesados en la figura de este pedazo de artista visiten el artículo correspondiente en la wikipedia, que me parece bastante completo e interesante.

Les dejo finalmente con algunas de sus mejores obras:

Feliz Navidad

Desde aquí un abrazo enorme y desearos felices fiestas a todos los que seguís el blog, al que tengo algo abandonado ultimamente por falta de tiempo e ideas.

Así que considerados felicitados toda mi gente y amigos en Cádiz, Tarifa, Málaga, Villanueva de Córdoba, y México (habéis visto que internacional estoy? jajaja)

Y tambien un saludo muy especial a todos los ex-alumnos que me lean, y a los que todavía no son ex, en particular a esa pedazo de tutoría que es 3º A del IES BAelo Claudia: a Yasmela, MariLuz Benitez, MariLuz Díaz, Nuria, Patricia, Lucía, Eduardo, Ricardo, Paco, Curro, Fran, Sebastián, Kike, Dani, Antonio, JoseAlberto, Javi, Germán, Alejandro, Miguel Angel, MiguelAngel Cofrancesco, Jorge, Marcial, Adrián , y a Sergio, (aunque haya fichado por 3ºC) ¡muchas gracias a todos por ser tan geniales!

Que el año nuevo sólo os traiga felicidad.

Fourier: Matemático en serie.

Jean-Baptiste-Joseph Fourier (21 de marzo 1768 en Auxerre - 16 de mayo 1830 en París), matemático y físico francés conocido por sus trabajos sobre la descomposición de funciones periódicas en series trigonométricas convergentes llamadas Series de Fourier. Estudió con los benedictinos en la Escuela Militar de Auxerre, pero abandonó su destino monástico para decicarse al estudio de las ciencias.

Participó en la revolución francesa y, gracias a la caída del poder de Robespierre, se salvó de ser guillotinado. Se incorporó a la Escuela Normal Superior de París en donde tuvo entre sus profesores a Joseph-Louis Lagrange y Pierre-Simon Laplace. Posteriormente, ocupará una cátedra en la Escuela Politécnica.

Fourier participó en la expedición de Napoleón a Egipto en 1798. Nombrado secretario perpetuo del instituto de Egipto el 22 de agosto de 1798 presenta numerosas memorias y dirige una de las comisiones de exploración del Alto Egipto. Entre las distintas funciones políticas o administrativas que llevó a cabo, destaca la de comisario francés en el Divan. A la muerte del General en Jefe del Ejército de Oriente Jean Baptiste Kléber a manos de un fanático sirio en su residencia en El Cairo. El secretario perpetuo del Instituto, Jean-Baptiste Joseph Fourier, amigo y colaborador del General Kléber, es quien pronuncia el elogio fúnebre, el 17 de junio delante del Instituto de Egipto. A su regreso a Francia en 1801, Napoleón lo nombra prefecto de Isère entre 1802 y 1815, Fourier presenta a Jean-François Champollion a los veteranos de la expedición de Egipto.

Entró a la Academia de Ciencias Francesa en 1817 y al cabo de cinco años se convirtió en el secretario perpetuo de las secciones de matemáticas y física.

Muere en Paris el 16 de mayo de 1830.

Se le dedicó un asteroide que lleva su nombre y que fue descubierto en 1992.


Si quieren saber más sobre las famosas de series de Fourier, les recomiendo:
http://www.seriedefourier.com.ar/Index.html
http://www.monografias.com/trabajos11/serfour/serfour.shtml


Fuente: http://es.wikipedia.org/wiki/Joseph_Fourier

¡Magia Potagia!

Los números esconden en su interior infinitas curiosidades. Una de las más divertidas es la sensación de que, a veces, puede parecer que hacemos magia con ellos. Aquí tienen algunos trucos para sorprender a sus amistades:

-------------------------
Escribe en un papel el numero 12345679 (ojo, falta el 8)

Pide a un amigo que te diga una cifra del 1 al 9.

Multiplícala mentalmente por 9, escribe el resultado bajo el numero 12345679 y pide a tu amigo que multiplique las dos cifras.

Se asombrara del resultado.

----------------------------------------

Pon sobre la mesa un sobre cerrado, un papel y un lapicero.

Pide a un amigo que escriba en él papel cualquier numero de tres cifras, por ejemplo 528.

Pidele que escriba este mismo numero con las cifras invertidas, en nuestro ejemplo 825 y que reste el menor del mayor, 825-528=297.

y por ultimo que sume los dígitos del numero obtenido, 2+7+9=18.

Entonces abre el sobre y saca un papel que pusiste antes de cerrarlo con la frase "El numero obtenido es el 18"

¿Qué como lo sabias?
El resultado siempre es 18, únicamente una precaución, el numero inicial no puede ser capicúa, al hacer la resta daría 0 de resultado.

---------------------------------

Pon otro sobre encima de la mesa y pide que escriban esta vez un numero de 4 dígitos, por ejemplo 2536.

Debajo de ese numero que escriba otro con los mismos dígitos pero en diferente orden, por ejemplo 3265.

Que resten el menor del mayor, 3265-2536=729 y que sumen los dígitos del numero obtenido, 7+2+9=18.

Si el resultado es un numero de dos dígitos que los sumen entre si, 1+8=9.

Abre el sobre y saca el papel donde escribiste "El numero obtenido es el 9"
¿Sorprendido?

-----------------------------

Fuente: http://www.juegosdelogica.com/neuronas/matemagi.htm

Ellas

Porque las chicas tambien contribuyeron a construir unas matemáticas más fuertes en un mundo que sólo aceptaba hombres, les presento a algunas de las más importantes:

Teano:

La primera mujer matemática de la que se tiene noticia fue Teano en el s. VI a.C.

Era hija de Milón, mecenas de Pitagoras. Teano fue una destacada discípula de Pitagoras, y se casó con él.

Hipatia:

Siglo IV d.C. Era hija de un profesor de matemáticas de la universidad de Alejandría. Dicen que era muy guapa y que tuvo muchos pretendientes, pero rechazó todas las proposiciones matrimoniales. En aquella época en Alejandría había una gran tensión social, debido a los esclavos y a la iglesia cristiana. Cirilo, el arzobispo de Alejandría estaba enfrentado a Hipatia y un día una multitud fanática, seguidora de Cirilo, asaltó el carruaje de Hipatia, fue brutalmente asesinada y sus restos quemados y sus obras destruidas. Hipatia cayó en el olvido para toda la humanidad y Cirilo fue proclamado santo.

Maria Gaëtana Agnesi:

Nació en Milán en 1718, era hija de Pietro Agnesi, un rico comerciante de seda (en muchas biografías se dice que su padre era matemático, pero parece ser que no es correcto). Pietro Agnesi tuvo 21 hijos (con tres esposas) y Maria era la primogénita.

María Agnesi tuvo buenos profesores, además fue una alumna excelente.

Fué famosa por sus tratados sobre las tangentes a curvas.

Dió nombre a una curva: la bruja Agnesi. La razón de este nombre es la siguiente: En 1718, Grandi, que estudiaba la curva, le dió el nombre latino (en aquella época la gente culta escribía en latín) versoria porque la figura de la curva semejaba el de la 'cuerda que dirige la vela'. Grandi tradujo al italiano versoria por versiera y la curva pasó a llamarse 'la versiera'. John Colson, que tradujo al ingles el libro de Agnesi Instituzioni analitiche ad uso della gioventú italiana, confundió 'la versiera' (la curva) por l'aversiera' (la bruja).

Despues de la muerte de su padre, María gastó todo su dinero en obras de caridad y murió en la pobreza.

Sophie Germain:

Nació el 1-04-1776. Hija de un rico comerciante francés. Se llegó a obsesionar con el estudio de las matemáticas, tanto que su padre, para impedirle que estudiase por las noches le escondia las velas. Con el tiempo sus padres cedieron y financiaron los estudios de su hija.

En esta época la sociedad era muy machista y la mujer no podía dedicarse a tareas usualmente de hombres. Como Sophie no podía ingresar en la École Polytechnique, asumió la identidad de un antiguo alumno (Monsieur Antoine-August Le Blanc). La secretaría de la escuela le enviaba por correo los apuntes y problemas y respondía las soluciones por correo. Al cabo de unos meses el encargado de curso, Lagrange, admirado por la brillantez de las respuestas, solicitó una entrevista con el alumno. Sophie se vió obligada a revelar su auténtica identidad. Lagrage se convirtió en su mentor y amigo.

Sophie admiraba a Gaüs, le escribió, haciéndose pasar por Le Blanc, comunicándole sus descubrimientos matemáticos. Cuando Napoleón invadió Prusia, Sophie, que era amiga de un general de Napoleón que estaba en Prusia, envió un mensaje a su amigo para que garantizase la vida de Gaüs. El general comunicó a Gaüs que debía su vida a mademoiselle Germain. Gaüs quedó agradecido pero sorprendido, pues no conocía a tal señorita. En la próxima carta de Sophie a Gaüs, le reveló su verdadera identidad.

Sophie murió de cáncer de mama. En el certificado de defunción consta como renttiére-annuitant (mujer sin oficio). Más aún, cuando se erigió la torre Eiffel (para la Expo de 1889), se inscribieron los nombres de 72 sabios franceses y Sophie Germain no figura entre ellos.

Emmy Amalie Noether:

Nació en 1882 en Erlangen, Alemania y murió en 1935 en Pennsylvania, USA.

Su padre era profesor de matemáticas en Erlangen.

Estudió Frances e Ingles y aunque obtuvo el título de profesora de Ingles y Francés no llegó a ejercer en estas materias.

Se dice que ha sido la matemática más grande de la historia de las matemáticas. Tuvo que vencer muchas dificultades para estudiar matemáticas, porque en ese tiempo a las mujeres no se les permitía estudiar, oficialmente, en las universidades alemanas. Cuando se doctoró en la Universidad de Erlangen (1898) el senado académico declaró que la admisión de mujeres estudiantes "subvertía todo el orden académico".

En 1915 Hilbert y Klein invitaron a Noether a volver a Göttingen y lucharon contra las autoridades universitarias para habilitar como profesora a Noether. No lo consiguieron hasta 1919.

Es famosa por sus trabajos sobre teoría de ideales. En 1921 publicó un artículo (Idealtheorie in Ringbereichen) sobre teoría de anillos tan importante que, desde entonces, se llaman anillos noetherianos a una determinada clase de anillos.

También fue una excelente profesora. Siempre estaba rodeada de estudiantes.

In 1933 los nazis, provocaron su expulsión de Göttingen, porque era judía. Se fue a USA.


Fuente: http://personal.redestb.es/javfuetub/biografias/mujmat.htm

This is Halloween

Vale que no sea costumbre española eso de ir por las casas pidiendo golosinas, ni colocar calabazas en los hogares para celebrar esta noche... pero a mi... ¡¡me encanta halloween:!!








¡FELIZ DÍA DE HALLOWEEN A TODOS!

DEXTER: El Asesino de al Lado.

¿Podrías llegar a simpatizar con el peor asesino en serie de toda América? Pues si ven esta serie, les aseguro que lo harán. Y todo eso a pesar de que Dexter es una persona carente de ningún tipo de sentimiento que se dedica a matar porque "lo necesita", y no se siente realizado sin hacerlo frecuentemente.
Aunque claro, su padre le enseñó que eso de matar está mal, así que Dex sólo elige como víctimas a asesinos como él.

Esta es la premisa de la serie revelación de la temporada pasada en USA. Una serie protagonizada por el magnífico y carismático actor Michael C. Hall, al que ya pudimos ver en la soberbia "A dos metros bajo tierra" haciendo un papel totalmente opuesto al de esta serie, lo que nos da idea de la genialidad y del talento de este actor.

La serie consta de 12 capítulos en su primera temporada, lo que hace que apenas baje el interés, siendo los 4 últimos capítulos una lección de cómo conseguir enganchar al espectador para que necesite (sí, necesite) ver el siguiente capítulo.

Y tras la primera temporada, la segunda, que se emite actualmente sigue manteniendo el buen nivel y hoy por hoy es una de las mejores series que se emiten en la tv americana.

Aunque tiene previsto emitirse en España (Cuatro anunció que la emitirá en un futuro) les recomiendo descargarse la serie por internet, para poder disfrutar de la versión original, puesto que, al estar rodada en Miami, muchos de los actores son hispano hablantes, y mezclan constantemente el español con el inglés, dándole un toque bastante curioso a la serie. Incluso en un capítulo Michael se atreve a soltar toda una frase en "spanish" , algo así como "A lo mejor los pescados te encuentran". No me pregunten lo que significa. Mejor vean la serie.

Bolzano: Sencillez y Elegancia.

Recuperamos hoy la sección "biografía de matemáticos", con uno de mis favoritos: el checoslovaco Bernard Bolzano. Sinceramente, siempre me acordaré de él porque en su momento enunció uno de los teoremas más simples y a la vez más importantes de todo el análisis matemático. La sencillez del teorema es tremenda, y viene a decir (más o menos) algo así: Si tengo dos puntos separados por una línea recta, y quiero unir esos dos puntos con una línea contínua, por narices dicha línea contínua debe cortar en algún momento a la recta que separa los puntos. ¿A qué parece obvio? Pues hasta que llegó él nadie lo había demostrado antes. A veces, algo sencillo puede ser tremendamente importante. Pero bueno, no me enrrollo más. Con todos ustedes, Bernard Bolzano:

Bolzano (1781 - 1848)

Bernard Bolzano, liberó al cálculo del concepto infinitesimal. También dio ejemplos de la correspondencia de las funciones 1-1.

Bolzano fue un filósofo, matemático y teólogo quien hizo significantes contribuciones tanto a las matemáticas como a la Teoría de la Ciencia, en algunos aspectos constituye un interesante precedente de la lógica matemática. En su obra póstuma "Paradojas de lo infinito" presenta conceptos que aparecen como una anticipación de la Teoría de Cantor acerca de los números transfinitos.

Bolzano ingresó a la facultad de filosofía en la Universidad de Praga en el 1796, estudió filosofía y matemática. Bolzano escribió :

Mi especial placer por las matemáticas

En metafísica Bolzano se opuso a Kant, reivindicando el carácter constructivo, y no simplemente regulativo de algunas ideas metafísicas como las relativas a Dios y a la mortalidad del alma.

Por interesantes que sean las especulaciones metafísicas y teológicas de Bolzano es hoy común acuerdo que la más importante e influyente contribución de este pensador se halla en sus ideas sobre lógica y teoría de conocimiento.

Bolzano influyó sobre muchos que intentaron depurar la lógica de todo psicologismo y fundarla en el análisis de preposiciones. Según Bolzano, la lógica tiene como misión estudiar las proposiciones como tales, es decir las proposiciones en si. Las proposiciones son enunciados mediante los cuales se declara que algo es o no es, con independencia de que sea verdadero o falso.

Bolzano, se adelantó a los analistas rigurosos del siglo XIX, a saber : en el concepto de función continua y en la demostración de sus propiedades, en el criterio de convergencia de series, y en la existencia de funciones continuas sin derivadas; pero por haber publicado sus escritos de análisis en Praga, ciudad entonces alejada de los centros científicos , o de permanecer inéditos, como su importante Teoría de Funciones, que apareció en 1930, la influencia de sus ideas fue escasa.

El teorema de Bolzano dice así:

Si f(x) es una función continua en el intervalo [a, b], y si, además, en los extremos del intervalo la función f(x) toma valores de signo opuesto (f(a) * f(b) < 0), entonces existe al menos un valor c perteneciente a (a, b) para el que se cumple: f(c) = 0.




Fuentes:

http://es.wikipedia.org/wiki/Imagen:Bernard_Bolzano.jpg

http://www.mat.usach.cl/histmat/html/bolz.html

http://centros5.pntic.mec.es/~marque12/matem/bolzano.htm

El Ajedrez y la inmensidad del Trigo

Aquí les dejo una sencilla historia, en la que se puede observar hacia qué desorbitados números nos puede llevar una simple serie geométrica de 64 elementos.


Cuando un matemático oriental inventó el admirable juego de ajedrez, quiso el monarca de Persia conocer y premiar al inventor. Cuenta el árabe Al-Sefadi que el rey ofreció a dicho inventor concederle el premio que solicitara.

El matemático se contentó con pedirle 1 grano de trigo por la primera casilla del tablero de ajedrez, 2 por la segunda, 4 por la tercera y así sucesivamente, siempre doblando, hasta la última de las 64 casillas.

El soberano persa casi se indignó de una petición que, a su parecer, no había de hacer honor a su liberalidad.

- ¿No quieres nada más? preguntó.

- Con eso me bastará, le respondió el matemático.

El rey dió la orden a su gran visir de que, inmediatamente, quedaran satisfechos los deseos del sabio.

¡Pero cuál no sería el asombro del visir, después de hacer el cálculo, viendo que era imposible dar cumplimiento a la orden!

Para darle al inventor la cantidad que pedía, no había trigo bastante en los reales graneros, ni en los de toda Persia, ni en todos los de Asia.
El rey tuvo que confesar al sabio que no podia cumplirle su promesa, por no ser bastante rico.

Los términos de la progresión arrojan, en efecto, el siguinte resultado: dieciocho trillones, cuatrocientos cuarenta y seis mil setecientos cuarenta y cuatro billones, setenta y tres mil setecientos nueve millones, quinientos cincuenta y un mil seiscientos quince granos de trigo.

18.446.744.073.709.551.615

Se sabe que una libra de trigo, de tamaño medio, contiene 12.800 granos aproximadamente. ¡Calcúlese las libras que necesitaba el rey para premiar al sabio! Más de las que produciría en ocho años toda la superficie de la Tierra, incluyendo los mares.

Con la cantidad de trigo reclamada, prodría hacerse una pirámide de 9 millas inglesas de altura y 9 de longitud por 9 de latitud en la base; o bien una masa paralelipípeda de 9 leguas cuadradas en su base, con una legua de altura. Semejante sólido sería equivalente a otro de 162.000 leguas cuadradas con un pie de altura.

Para comprar esa cantidad de trigo, si la hubiera, no habría dinero bastante en este mundo.


Fuente: http://canal-h.net/webs/rguerrero001/Leyenda.htm

Pitágoras: Larga vida al Rey.

(Isla de Samos, actual Grecia, h. 572 a.C.-Metaponto, hoy desaparecida, actual Italia, h. 497 a.C.) Filósofo y matemático griego. Se tienen pocas noticias de la biografía de Pitágoras que puedan considerarse fidedignas, ya que su condición de fundador de una secta religiosa propició la temprana aparición de una tradición legendaria en torno a su persona.

Parece seguro que Pitágoras fue hijo de Mnesarco y que la primera parte de su vida la pasó en Samos, la isla que probablemente abandonó unos años antes de la ejecución de su tirano Polícrates, en el 522 a.C. Es posible que viajara entonces a Mileto, para visitar luego Fenicia y Egipto; en este último país, cuna del conocimiento esotérico, se le atribuye haber estudiado los misterios, así como geometría y astronomía.

Algunas fuentes dicen que Pitágoras marchó después a Babilonia con Cambises, para aprender allí los conocimientos aritméticos y musicales de los sacerdotes. Se habla también de viajes a Delos, Creta y Grecia antes de establecer, por fin, su famosa escuela en Crotona, donde gozó de considerable popularidad y poder.

La comunidad liderada por Pitágoras acabó, plausiblemente, por convertirse en una fuerza política aristocratizante que despertó la hostilidad del partido demócrata, de lo que derivó una revuelta que obligó a Pitágoras a pasar los últimos años de su vida en Metaponto.

La comunidad pitagórica estuvo seguramente rodeada de misterio; parece que los discípulos debían esperar varios años antes de ser presentados al maestro y guardar siempre estricto secreto acerca de las enseñanzas recibidas. Las mujeres podían formar parte de la cofradía; la más famosa de sus adheridas fue Teano, esposa quizá del propio Pitágoras y madre de una hija y de dos hijos del filósofo.

El pitagorismo fue un estilo de vida, inspirado en un ideal ascético y basado en la comunidad de bienes, cuyo principal objetivo era la purificación ritual (catarsis) de sus miembros a través del cultivo de un saber en el que la música y las matemáticas desempeñaban un papel importante. El camino de ese saber era la filosofía, término que, según la tradición, Pitágoras fue el primero en emplear en su sentido literal de «amor a la sabiduría».

También se atribuye a Pitágoras haber transformado las matemáticas en una enseñanza liberal mediante la formulación abstracta de sus resultados, con independencia del contexto material en que ya eran conocidos algunos de ellos; éste es, en especial, el caso del famoso teorema que lleva su nombre y que establece la relación entre los lados de un triángulo rectángulo, una relación de cuyo uso práctico existen testimonios procedentes de otras civilizaciones anteriores a la griega.

El esfuerzo para elevarse a la generalidad de un teorema matemático a partir de su cumplimiento en casos particulares ejemplifica el método pitagórico para la purificación y perfección del alma, que enseñaba a conocer el mundo como armonía; en virtud de ésta, el universo era un cosmos, es decir, un conjunto ordenado en el que los cuerpos celestes guardaban una disposición armónica que hacía que sus distancias estuvieran entre sí en proporciones similares a las correspondientes a los intervalos de la octava musical. En un sentido sensible, la armonía era musical; pero su naturaleza inteligible era de tipo numérico, y si todo era armonía, el número resultaba ser la clave de todas las cosas.

La voluntad unitaria de la doctrina pitagórica quedaba plasmada en la relación que establecía entre el orden cósmico y el moral; para los pitagóricos, el hombre era también un verdadero microcosmos en el que el alma aparecía como la armonía del cuerpo. En este sentido, entendían que la medicina tenía la función de restablecer la armonía del individuo cuando ésta se viera perturbada, y, siendo la música instrumento por excelencia para la purificación del alma, la consideraban, por lo mismo, como una medicina para el cuerpo. La santidad predicada por Pitágoras implicaba toda una serie de normas higiénicas basadas en tabúes como la prohibición de consumir animales, que parece haber estado directamente relacionada con la creencia en la transmigración de las almas; se dice que el propio Pitágoras declaró ser hijo de Hermes, y que sus discípulos lo consideraban una encarnación de Apolo.

Fuente: http://www.biografiasyvidas.com


En la wikipedia pueden encontrar un artículo bastante completo sobre el teorema de Pitágoras, y algunas demostraciones del mismo bastante interesantes:

Teorema de Pitágoras

Thales de Mileto. (640 AC - 560 AC)

Thales era un hombre esencialmente práctico : comerciante, hábil en ingeniería, astrónomo, geómetra, estadista. Se le incluye por tradición entre los Siete Sabios.

Como comerciante se cuenta de él que un año, previniendo una gran producción de aceitunas, monopolizó todos los lagares para hacer el aceite, con lo cual obtuvo una espléndida ganancia. Como lo que ahora llamaríamos ingeniero, estuvo dirigiendo obras hidráulicas y se dice que desvió el curso del río Halis mediante la construcción de diques.

Como astrónomo fue más célebre, predijo el eclipse total de sol visible en Asia Menor, como asimismo se cree que descubrió la constelación de la Osa Menor y que consideraba a la Luna 700 veces menor que el sol. También se cree que conoció la carrera del sol de un trópico a otro. Explicó los eclipses de sol y de luna. Finalmente creía que el año tenía 365 días.

A Thales se le atribuyen 5 teoremas de la geometría elemental :

1.-Los ángulos de la base de un triángulo isósceles son iguales

2.-Un circulo es bisectado por algún diámetro

3.-Los ángulos entre dos líneas rectas que se cortan son iguales

4.-Dos triángulos son congruentes si ellos tienen dos ángulos y un lado igual.

5.-Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto

Thales busca el fundamento natural de las cosas y cree, al respecto, que el principio originario, la sustancia primordial de todas las cosas, es el agua. Pensaba así mismo que el agua llenaba todo el espacio. Se imaginaba a la Tierra como un gran disco flotando sobre las aguas, sobre la cual existiría una burbuja hemisférica de aire, nuestra atmósfera sumergida en la masa líquida. La superficie convexa de la burbuja sería nuestro cielo y los astros según expresión de Thales "Navegarían por las aguas de arriba"

Escribió un libro de navegación y se decía que uso la constelación de la Osa Menor que él había definido como una característica importante de la navegación.

Se creé que Thales pudo haber sido el maestro de Anaximandro y que fue el primer filósofo natural de la escuela Milesiana.

El teorema que lleva su nombre es uno de los más célebres del mundo matemático.

En estas páginas pueden conocer más sobre este teorema:

http://enebro.cnice.mecd.es/~jhep0004/Paginas/Lydia/teorema.htm


http://www.iesadpereda.net/thales/thales.htm#thales


También les cuelgo aquí un vídeo muy divertido en el que se "canta" una alabanza al teorema.



Fuente: http://www.mat.usach.cl/histmat/html/thal.html

Hasta el Infinito y Más Allá

A continuación os expongo gran parte del contenido de una página web muy interesante, en el que se trata el tema de los infinitos en los conjuntos numéricos. Al final del texto, que os he resumido aquí encontraréis el enlace original:

Trabajaremos con los conjuntos numéricos de toda la vida...

Los números naturales: N = 1, 2, 3, 4, …

Los números enteros: Z = 0, 1, -1, 2. -2, 3, -3, ….

Los números racionales (o fraccionarios): Q = 0, 1/1, 1/2, -1/2, 1/3, -1/3, 1/4, -1/4, ….., 2/1, -2/1, 2/2, -2/2, 2/3, -2/3, 2/4, -2/4, ……. (observa que en esta lista aparecen números repetidos que en buena lógica deberíamos quitar: 1/1 es lo mismo que 2/2 ,… 1/2 es lo mismo que 2/4, …)

Los números irracionales: I (que no se pueden expresar en forma de fracción como , π, etc...).

Los números reales: R = La reunión en un solo conjunto de racionales e irracionales.

¿En qué conjunto hay más números, en N o en Z? ¿En N o en Q?

Sí, ya sabemos que en todos hay infinitos números, pero … ¿son iguales o un infinito es mayor que otro?

Necesitamos ponernos de acuerdo en lo que significa la pregunta. Para ello…

nos vamos a una fiesta imaginaria con ambiente de los años 50 y queremos saber si hay más chicos que chicas. Lo averiguaremos haciendo que suene un rock and roll y pidiendo que se formen todas las parejas de baile posibles. Al final nos bastará con observar a los que no han podido encontrar pareja para saber si hay más chicas que chicos o al revés.

Dos conjuntos (infinitos o no) tienen el mismo número de elementos si se puede establecer una relación uno-uno (vamos, que se pueden formar parejas mixtas sin que sobre nadie).

El gran maestro en estos asuntos, George CANTOR, de un modo sencillo consiguió emparejar uno-uno a los naturales N con los racionales Q. Utilizó una tabla como la siguiente donde fue escribiendo ordenadamente todos los números racionales… (Observa que, por ejemplo, el número 47/123 está en la fila 47 y en la columna 123)

1/1 1/2 1/3 1/4 ...

2/1 2/2 2/3 2/4 ...

3/1 3/2 3/3 3/4 ...

4/1 4/2 4/3 4/4 ...


Pues bien CANTOR los ordenó por un camino con diagonales en zigzag, y de este modo podemos proceder al emparejamiento de N con los racionales positivos. El emparejamiento con todos los racionales, incluído los negativos se hace de un modo totalmente análogo.



Parece reforzarse una conjetura: todos los infinitos son iguales. Y todos son de la misma magnitud que los números naturales N.



Al infinito referido a los números naturales se le llama אּ0 (Aleph sub cero). Los conjuntos que se pueden emparejar con los naturales decimos que son numerables.



Pero CANTOR nos demostró que estamos equivocados probando que en cualquier intervalo de números reales existe una cantidad infinita de números que no se puede poner en relación uno-uno con los naturales. Es decir, los números reales no son un conjunto numerable.

Veamos su demostración que haremos con el intervalo (0,1) es decir, el conjunto de números comprendidos entre 0 y 1 sin incluirlos. Todos sus números de ese intervalo tienen la forma 0’abcde…., por ejemplo 0’3200… 0’125… 0’2323… Por si hubiera entre el público alguno especialmente meticuloso, aclararemos que aquellos números que terminan en una infinidad de 9, como el 0’359999… , se pueden escribir, también, de forma que acaben en una infinidad de 0; en nuestro ejemplo 0’360000… Pues bien, convendremos en que, en estos casos, optaremos por la versión con ceros. De modo que cada número real del intervalo (0,1) tiene una única representación de la forma 0’abcde…

Teorema: El conjunto de números reales del intervalo (0,1) no es numerable, es decir, no se puede poner en correspondencia uno-uno con el conjunto de los números naturales.

Demostración: (por el método de reducción al absurdo)

Supongamos que no es cierto, es decir, que sí existe una forma de emparejar ambos conjuntos. Pongamos que se trata del siguiente emparejamiento:

N (0,1)

1---------------> 0’a1a2a3a4a5….

2---------------> 0’b1b2b3b4b5….

3---------------> 0’c1c2c3c4c5….

4---------------> 0’d1d2d3d4d5….


Vamos a construir un número real entre 0 y 1 que no está en esta lista: será el número X = 0’x1x2x3x4x5…. definido de la siguiente manera:

Elegiremos la primera cifra decimal x1 que no coincida con a1 y que no sea ni 0 ni 9.

Elegiremos la segunda cifra decimal x2 que no coincida con b2 y que no sea ni 0 ni 9.

Elegiremos la tercera cifra decimal x3 que no coincida con c3 y que no sea ni 0 ni 9.

Y así sucesivamente.

El número así construido no coincide con el primero de la lista porque son distintas sus primeras cifras decimales, no coincide con el segundo porque son distintas sus segundas cifras decimales, etc. Este número, pues, no está en la lista.

Pero esto contradice la suposición inicial por lo que queda demostrado el teorema.

El conjunto de los números reales del intervalo (0,1) es infinito, pero su orden de infinitud no es el mismo que el de los números naturales. A ese orden de infinitud se le llama la potencia del continuo y se suele designar por la letra c

Es sencillo demostrar que si el intervalo (0,1) no es numerable, tampoco lo es cualquiera otro intervalo de números reales y tampoco lo es el propio conjunto de los números reales R. Decimos, pues, que R y cualquier intervalo no vacío de números reales tiene la potencia del continuo.

Cantor demostró una propiedad bastante sencilla y razonable (aunque la intuición se debe limitar enormemente en este terreno de lo infinito): Si dos conjuntos son numerables, también lo es el conjunto que se crea al unirlos. Lo que le permitió explorar en el territorio siempre misterioso de los números irracionales. Este conjunto ya atormentó a los pitagóricos hasta el punto que decidieron esconder su descubrimiento: guardaron en secreto la prueba de que la diagonal del cuadrado y su lado son inconmensurables. Como el conjunto de los números reales (no numerable como hemos visto) es la unión de racionales e irracionales, éstos tienen que ser no numerables ya que si fueran numerables, lo tendría que ser R y no lo es. Resulta probado, pues, que I es no numerable mientras que ya sabíamos que Q sí lo es. Así que ese conjunto cuya existencia descubrieron los pitagóricos y del que se conocían no muchos elementos: los radicales, el número Pi, ... , es tan grande que si elegimos un número real al azar, la probabilidad de que sea racional es ¡¡ 0 !! El conjunto de los números irracionales I tiene la potencia del continuo.



Pero Cantor iría todavía más lejos.

Llamamos números construibles a los números que con ayuda de los instrumentos clásicos de dibujo (regla y compás) se pueden representar sobre una recta en la que hemos señalado dos puntos que representan al 0 y al 1. Todos los números racionales son construibles y algunos irracionales también.

Llamaremos números algebraicos a las raíces de ecuaciones polinómicas (ecuaciones de la forma P(x) = 0 donde P(x) es un polinomio de cualquier grado en la indeterminada x. Por ejemplo: 2x - 8 = 0 (solución x = 4). Todos los racionales son algebraicos, y, también lo son todos los irracionales construibles. Al revés no es cierto, de manera que los números construibles son un subconjunto estricto (no igual) de los algebraicos.

Pues bien, Cantor probó que el conjunto de los números algebraicos es un conjunto numerable. Esto nos lleva a dos consideraciones:

• Dentro del conjunto de los irracionales existe un conjunto de números que no son algebraicos. A esos números los llamamos trascendentes.

• Como los números algebraicos son numerables, el resto de números reales, los trascendentes, tienen que tener la potencia del continuo.

Cantor publicó estos resultados en 1874.

Los primeros números trascendentes que se conociéron fueron los "números de Liouville" (por ejemplo: 0'100100010000... ) en 1844. El primer caso de un número previamente conocido y que resultara ser trascendente fue el número e, que en 1873 quedó probada su "trascendencia" por el matemático francés Hermite.

En 1882 el matemático Lindemann probó que el número PI (cuya irracionalidad había sido probada por Lambert en 1770) es trascendente. Con ello dejaba zanjado uno de los problemas clásicos de la matemática: la cuadratura del círculo es imposible (si fuera posible, el número Pi sería construible y, por lo tanto algebraico). En doce años se había acabado una doble pelea: la búsqueda de la fracción equivalente al número Pi y la cuadratura del círculo.

Termino con un par de cosas que dijo el gran matemático David Hilbert a propósito de Cantor y sus descubrimientos:

• “…el más sorprendente producto del pensamiento matemático y una de las realizaciones más bellas de la actividad humana en el dominio de la inteligencia pura”

• “ Nadie nos expulsará del paraíso que Cantor ha creado para nosotros".

Fuente: http://roble.cnice.mecd.es/~tvirgos/matematicas/infinitos.htm

Bernini: O cómo hacer que el mármol se haga carne

Post que se lo dedico a mi amiga Azucena, por descubrirme el trabajo de este genial artista.

Con sólo esas cuatro imágenes se puede apreciar la extraordinaria calidad de su escultura. Yo, simplemente, me quedo sin palabras.